Ein ganzzahliger Exponent ist auch bei einer negativen Basis problemlos. Bei rationalen Exponenten hast Du richtig erkannt, dass ein gerader Nenner Probleme macht.

Für ungerade Nenner könntest Du das Vorzeichen am Zähler (gerade/ungerade) festmachen – nur so lassen sich die Rechenregeln für Potenzen noch einigermaßen retten.

Dann hast Du (−1)ʳ für „halb ℚ“ definiert. Der Graph schaut aus wie y=±1, wobei oben alle Werte für Brüche der Form „g/u“ und unten alle für „u/u“ liegen. Die Stetigkeit kannste in die Tonne treten, und eine Erweiterung auf ℚ oder ℝ wäre bestenfalls willkürlich.

Fazit: Wenn Du den Definitionsbereich von f(x)=xˣ auf „g/u“ einschränkst, ist f stetig. Bei „u/u“ hat sie in 0 eine Sprungstelle, und wenn Du beides zulassen willst, ist sie überall auf (−∞, 0] unstetig.

Es kann natürlich sein, dass so eine Definition für einen bestimmten Anwendungsfall ganz praktisch ist, aber im Allgemeinen lassen Mathematiker das im Reellen lieber undefiniert. Denn im Komplexen bietet sich eine wesentlich schönere Definition an, die der von oben widerspricht.

Für b) zeige, dass ≃ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist:

• zeige A≃A: min A=min A (trivial)
• zeige A≃B ⇔ B≃A: min A=min B ⇔ min B=min A (trivial)
• zeige A≃B ∧ B≃C ⇒ A≃C: (kriegst Du selber hin)

Zu c)

Eine Äquivalenzklasse enthält alle Elemente, die zueinander äquivalent sind. Man schreibt sie üblicherweise als [m], wobei m ein beliebiges Element dieser Klasse ist. Die einelementigen Teilmengen bieten sich hier förmlich als Repräsentanten an:

• [{1}], [{3}], [{5}] und [{7}].

Zeige, dass diese Äquivalenzklassen paarweise verschieden sind und insgesamt alle Elemente von M abdecken. Denk aber bloß nicht zu viel nach: Der Beweis ist genau so trivial wie in b).

Sind es auch ca 47%

Ziemlich sicher nicht: Wenn sich die Strecken halbieren, schrumpfen die Flächen auf 1/4 und das Volumen auf 1/8. Dazu kommt noch, dass die geraden Würfelkanten auf der Kugel zu Kreisbögen werden.

Verstehe ich es so richtig:

• Du hast eine Kugel mit Durchmesser 1 in einem Würfel mit Kantenlänge 1.
• Du projizierst das Würfelgitter auf die Kugel. Die Kanten werden dabei auf Teile eines Großkreises abgebildet.
• Gesucht ist die Länge des Bildes einer Kante.

Liegt der Kugelmittelpunkt im Ursprung, dann liegen die 8 Ecken des achsenparallelen Würfels bei (±1, ±1, ±1). Deren Bilder liegen bei einer Zentralprojektion vom Ursprung in denselben Richtungen, nur eben etwas näher am Ursprung. Für die Bogenlänge einer Kante auf der Kugel brauchst Du nur den Winkel 𝛼 zwischen zwei benachbarten Eckpunkten. Den halben Winkel findest Du im rechtwinkligen Dreieck unter der Hypotenuse von (0, 0, 0) bis (1, 1, 1):

• tan(𝛼/2) = 1/√2 ⇔ 𝛼 ≈ 70,5°.

Der Rest ist simpler Dreisatz: Ein ganzer 360°-Umfang auf der Kugel hat die Länge π, und ca. 70,5° davon entfallen auf ein Kantenbild. Aus einer Kante der Länge 1 wird also ein Bogen der Länge π·70,5/360 ≈ 0,61548. Das sind etwa 38,5 % Verlust.

Mir kommt das etwas wenig vor. Zum Vergleich: Ein Würfel mit demselben Volumen wie die Kugel (π/6) hat die Kantenlänge ∛(π/6) ≈ 0,806. Wenn man ihn zu einer Kugel knetet, wandern die Ecken deutlich nach innen und die Seitenmittelpunkte leicht nach außen. Ich bin überrascht, dass die Kanten dabei so viel kürzer werden (von 0,806 auf 0,615). Vielleicht versteckt sich ja oben ein kleiner Rechenfehler.

In einer satzwertigen Infinitivphrase steht der Infinitiv immer am Ende der Phrase. Aber die ganze Phrase sitzt gewöhnlich innerhalb der Satzklammer. Bei längeren Phrasen empfiehlt es sich aber, den Nebensatz ins Nachfeld (hinter den Hauptsatz) zu stellen. Beispiele:

• Dich zu verstehen ist nicht immer einfach.
• Er schaltete, ohne mit der Wimper zu zucken, den Computer aus.
• Er schaltete den Computer aus, ohne mit der Wimper zu zucken.
• Ich mag ihre Art, mich anzuschauen, sehr.

Gehört der Infinitiv dagegen zum Prädikat, bildet er zusammen mit dem finiten Verb die Satzklammer eines Hauptsatzes (finites Verb an Position 2 oder 1, Infinitiv am Ende). Im Nebensatz steht das finite Verb aber immer hinten (Ausnahme: Ersatzinfinitiv bei Modalverben).

Prädikate mit Infinitiv findest Du bei Modalverben (können, dürfen, ...) und einigen anderen Verben, die modal verwendet werden können (brauchen, haben, sein, drohen, glauben, wissen, wagen, ...). Letztere erfordern einen Infinitiv mit „zu“, den man ebenso gut als Infinitivsatz sehen könnte. Das ändert nichts an der Satzstellung.

Beispiele:

• Er glaubt alles zu wissen. – ..., dass er alles zu wissen glaubt.
• Er hat alles zu wissen geglaubt. – ..., dass er alles zu wissen geglaubt hat.
• Sie weiß sich zu helfen. – ..., weil sie sich zu helfen weiß.
• Wage zu denken! – Ich will, dass Du zu denken wagst.

Und speziell für „sein/haben+Infinitiv mit zu“ (im Sinne von „müssen“):

• Ihr habt noch viel zu lernen. – ..., ob ihr noch viel zu lernen habt.
• Das ist sofort zu erledigen! – ..., dass das sofort zu erledigen ist.
• Die Meinungen sind in Kauf zu nehmen! – ..., die in Kauf zu nehmen sind.

der bestimmte Artikel + der unbestimmte Artikel

Du meintest sicher „bestimmter Artikel + Possesivartikel“.

Aktuell darf im Deutschen höchstens ein Artikelwort vor einer Nomengruppe stehen (siehe LEO). Am Ende der verlinkten Seite findest Du ein paar Ausnahmen (u. a. „diese meine“), aber „die meine“ gehört nicht dazu.

Google Ngram liefert zwar einige Treffer für „die meine Frau“, aber bei den meisten ist „die“ kein Artikel („..., die meine Mutter kannten“). Mit dem richtigen Tag (die_DET ...) findet man zwar weniger, aber bei mir werden dann keine leider Belege mehr angezeigt, sodass ich das nicht verifizieren kann.

Ich vermute, dass Google auch hier das Wort „die“ oft falsch als Artikel erkennt. Und ich bezweifle stark, dass der Rest korrektes Deutsch war oder ist.

Mit der Lösung kann ich auch nicht viel anfangen. Was soll der „Schittkreis“ sein?

Ich würde die beiden Ebenen 3x+4y=5±4·5 (links und rechts von F mit Abstand 4) mit g schneiden. Der Schnittpunkt, der näher an A liegt, ist der richtige.

Auf DWDS findest Du die Beispiele „rosa Brille“ (und „rosa Zeiten“). Laut Google Books tauchten diese Phrasen um 1900 auf.

Ich selbst tendiere zu „rosarote Brille“ und „rosige Zeiten“, weil ungebeugte Adjektive für mich etwas holprig klingen.

Das Standardisieren erledigt laut Wikipedia

• für Deutschland das Institut für Deutsche Sprache (IDS),
• in Österreich das österreichische Bildungsministerium und
• in der deutschen Schweiz der Schweizerische Verein für die deutsche Sprache (SVDS).

Beachte aber, dass es beim Standardisieren nicht um „richtig oder falsch“ geht. Du darfst weiter so reden, wie dir der Schnabel gewachsen ist. Nur als Nachrichten- oder Synchronsprecher tust Du gut daran, Dich am Standard zu orientieren.

Deine Beispiele für verschiedene Aussprachevarianten sind von der IDS schon umfangreich erforscht worden (König, China).

Ich vermute mal, Du meinst „etwas lassen“ (=„etwas nicht (mehr) tun“), wobei das Objekt ein Infinitivsatz ist. Dein Hauptsatz wäre also

• Man lässt es, [etwas] zu machen.

Der Satz ist zwar formal korrekt, aber ohne mein eingefügtes [etwas] ziemlich unverständlich. Ich nehme als Beispiel besser

• Ich lasse es, alles zu kritisieren.

Schon dieser Satz ist untypisch. Ohne jede Ergänzung (Ich lasse es lieber/in Zukunft/...) sagt man eher „Ich unterlasse es, ...“, „ich lasse es sein, ...“ oder „ich lasse/sehe davon ab, ...“.

Nun denn, der Infinitivsatz ist hier nachgestellt und hat ein Korrelat-es im Hauptsatz. Das bleibt auch so, wenn der ganze Satz zum Nebensatz wird:

• Er hofft, dass ich es lasse, alles zu kritisieren.

Das entspricht Deiner erste Variante

• Ich glaube, dass man es lässt, [etwas] zu machen.

Theoretisch darf man den Infinitivsatz aber auch direkt in den Satz einfügen:

• Alles zu kritisieren lasse ich.
• ⇒ ? Er hofft, dass ich alles zu kritisieren lasse.

Das entspricht Deiner zweiten Variante

• [Etwas] zu machen lässt man.
• ⇒ ? Ich glaube, dass man [etwas] zu machen lässt.

Bei vielen Verben geht das problemlos und ist oft sogar guter Stil. Aber beim Verb „lassen“ in der Bedeutung „unterlassen“ schießt man sich damit ins eigene Knie: Es gibt „lassen+Infinitiv“ und „etwas (sein) lassen“, daneben auch die Verben „zulassen“ und „zumachen“ (=schließen). All das führt dazu, dass man den Satz mindestens zweimal lesen muss. Und die schwammigen Begriffe „man“ und „machen“ erleichtern das Verständnis auch nicht.

Fazit: Du hast zwei hoffnungslos verunglückte Hauptsätze grammatikalisch korrekt in Nebensätze umgewandelt.

Du willst eine 3×2-Matrix mit einer 4×4-Matrix multiplizieren. Wegen colA!=rowB gibst Du eine Fehlermeldung aus und null zurück (statt einer Exception). In printMatrix() setzt Du aber voraus, dass das Argument nicht null ist.

Natürlich ist es undenkbar, die beanstandeten Werte in der Fehlermeldung auszugeben. Das würde ja wertvolle 30 Sekunden Arbeitszeit kosten.

Wenn Du einen Tabulator setzt, indem Du ins Lineal klickst, gilt der nur in diesem Absatz. Er wird aber übernommen, wenn Du weitere Absätze dahinter einfügst (d. h. "Enter" drückst).

Mit Rechtsklick / Absatz / Bearbeiten (letzter Punkt im Untermenü*) kannst Du weitere Tabulatoren setzen, die dann für alle Absätze dieser Sorte gelten.

*: hab's leider nur auf Englisch: Paragraph / Edit Style.

Ein Recht auf etwas wird durch ein Gesetz verbrieft und gilt in der Regel für alle.

Bei Anrecht denke ich eher an ein Privileg, das nicht automatisch jedem zusteht. Allerdings kann ich mir vorstellen, dass Anrecht oft einfach nur als Mischung von Anspruch und Recht verwendet wird (als Abkürzung von Rechtsanspruch).

Alle drei while-Schleifen sind Endlosschleifen. Wirf sie raus und schreibe stattdessen:

if (lichtl>800 || lichtm>800 || lichtr>800)
    digitalWrite(13, HIGH); // mind. ein Sensor ist an
else
    digitalWrite(13, LOW);  // alle Sensoren sind aus

zu a) In Toms Skizze liegt der Kreis für den Boden neben dem Mantel-Rechteck. Also gilt 2r+h=20, und der Umfang ist auf 15 cm begrenzt. Tom hat h=20−2r in die V-Formel eingesetzt, nach r abgeleitet (V'=−6πr²+40πr) und davon die Nullstellen berechnet. Bei r=0 hat V ein Minimum, bei r=20/3≈6,67 ein Maximum.

zu b) Dummerweise ist wegen U≤15 bei r = 15/(2π) ≈ 2,39 Schluss. Nebenbedingungen können echte Spaßbremsen sein!

zu c) Mit Toms Ansatz steigt das Volumen zwischen r=0 und r=2,39 monoton. Das Maximum bekommt er also wegen U≤15 am Rand bei r=2,39. Berechne das entsprechende Volumen.
Ein anderer Ansatz wäre, das Blech um 90⁰ zu drehen. Dann hast Du 2r+h=15 und als Randbedingung U≤20. Rechne auch das (genau wie oben) durch und nimm das bessere Ergebnis.

Ich selbst würde an der Unterkante des Mantels Fransen der Länge r lassen und diese dann für den Boden nach innen biegen. Das verschwendet weniger Material und wird sicher eine deutlich größere Dose ergeben. Auch hier muss man die Rechnung für beide Blech-Orientierungen getrennt durchführen und die Ergebnisse vergleichen.

Allerdings bleibt offen, ob jemand Anderes eine bessere Idee hat, das Blech mit noch weniger Abfall zu zerschneiden. Eine echte Obergrenze erreicht man nur, indem man das Blech einschmelzt und daraus ohne Materialverlust die Dose gießt.

Ich gehe mal davon aus, dass Du mit formaler Grammatik und der Notation ihrer Produktionsregeln vertraut bist.

EBNF wurde entwickelt, um solche Regeln kompakter und verständlicher zu formulieren, ohne die Exaktheit zu beeinträchtigen. Neue Elemente sind z. B.:

• { X }: beliebige Wiederholung von X
• [ X ]: optionales X
• X | Y: entweder X oder Y

Um eine EBNF in klassische Regeln zu konvertieren, musst Du diese Konstrukte über Hilfsregeln abbilden. Das geht weitgehend nach Schema F:

Aus L = { X } wird:

• L → 𝜀
• L → L X

Aus L = [ X ] wird:

• L → 𝜀
• L → X

Aus L = X | Y wird:

• L → X
• L → Y

Bei Deiner EBNF wird es sinnvoll sein, Nichtterminale für {Stat}, die drei Alternativen von Stat, sowie für {"ELSEIF" ...} einzuführen. Als „verständliche Namen“ würde ich persönlich „block-statement“, „statement-list“, „if-statement“, „for-statement“ und „elif-phrase“ wählen (und „Stat“/“Expr“ durch „statement“/„expression“ ersetzen).

Die Lösung wird dann so anfangen:

• statement → block-statement
• statement → if-statement
• statement → for-statement
• block-statement → "BEGIN" statement-list "END"
• statement-list → 𝜀
• statement-list → statement-list statement
• if-statement → ...
• for-statement → ...

Bei den letzten beiden will ich Dir den Spaß nicht nehmen, es selbst zu lösen.

Für den weißen Turm gibt es 64 Felder. Auf jedem davon kann er genau 7 Felder senkrecht und 7 waagrecht schlagen. Zusammen mit seinem selbst belegten Feld bleiben also noch 64−7−7−1=49 Felder für die zwei schwarzen Türme – „2 aus 49 ohne Zurücklegen“.

Unterm Strich sind es also 64·49·48/2=75264 Möglichkeiten.

Keine Ahnung, wie das gerechnet wurde. Das Ergebnis ist aber richtig. Ich würde es so rechnen:

Die zweite Zeile enthält Resolventen von Y, die man mit Y verodern darf. In einem weiteren Schritt bekommt man die Resolvente c, die dann alle Terme außer (¬a ∧ ¬b) absorbiert – fertig.

1.Ich will Menschen sich bei mir wohlfühlen lassen.

Das ist grammatisch, aber „etwas lassen wollen“ ist nicht idiomatisch.

Grundsätzlich kann man modale Verben beliebig ineinanderschachteln, und „etwas können wollen“ oder „etwas lassen müssen“ sind durchaus gängig. Aber „lassen“ und „wollen“ liegen semantisch so nah beieinander, dass man ins Grübeln kommt, was nun genau gemeint ist. Für mich klingt Dein Satz wie aus einer Selbsthilfegruppe für Nervensägen :-)

2. Diese Musik lässt mich sich wohlfühlen.

Das Reflexivpronomen richtet sich nach dem Subjekt (das hier in der Infinitivkonstruktion im Akkusativ steht). Also wenn schon, dann

• Diese Musik lässt mich mich wohlfühlen.

Aber Wortwiederholungen meidet man im Deutschen wie die Pest (außer als Stilmittel). Diesen Satz muss man einfach umformulieren!

Eigentlich steht das alles schon im Text. Du brauchst nur für jeden Satz die passenden Anweisungen herauspicken:

Eine Warteschlange lässt sich z.B. dadurch realisieren, dass die Warteschlange das erste Element kennt.

class Warteschlange {
  Person erste;
  void hinzufuegen(Person p){

Wenn die Warteschlange noch leer ist, wird die neue Person als erste Person gespeichert. Das Hinzufügen ist damit beendet.

    if (erste == null) {
      erste = p;
    }
    else {

Wenn die Warteschlange schon eine Person enthält, dann suche die letzte Person der Warteschlange. Gehe dazu die Warteschlange von Anfang an durch, bis man bei der Person ist, die keinen Nachfolger mehr hat.

      Person letzte = erste;
      while(letzte.naechste != null)
        letzte = letzte.naechste;

Hänge an die letzte Person eine Person an.

      letzte.naechste = p;
    }
  }
}

Zerlege n in Primfaktoren. Interessant ist dabei nur, wie oft der Faktor 3 drinsteckt. Solange n durch 3 teilbar ist, kann man ziehen. Übrig bleibt dann eine Anzahl mit einem Faktor 3 weniger (und evtl. eine 2 mehr). Verloren hat man, wenn n nicht durch 3 teilbar ist.

A gewinnt also immer, wenn n eine ungerade Potenz von 3 enthält. Und da n durch 6 teilbar sein soll, kommt noch (mindestens) ein Faktor 2 dazu:

n = 2·(3j−1)·3²ᵏ⁻¹ oder 2·(3j−2)·3²ᵏ⁻¹ für j, k ∊ ℕ