Was sind Potenzen?
Potenzen
4 Antworten
In der Tat lässt sich das Potenzieren einer beliebigen Reellen (oder Komplexen) Zahl b (Basis) mit einer Echten Natürlichen Zahl x (Exponent) in der Tat über eine wiederholte Multiplikation definieren, wie @Horvarth Toni schon geschrieben hat.
Über die Potenzgesetze, die sich hier zeigen, lässt sich der Bereich allerdings erheblich erweitern. Es ist ja
(1.1) b₁^{x}·b₂^{x} = (b₁·b₂)^x
(1.2) b₁^{x}/b₂^{x} = (b₁/b₂)^x
(2.1) b^{x₁}·b^{x₂} = b^{x₁+x₂}
(2.2) b^{x₁}/b^{x₂} = b^{x₁−x₂}
(zunächst einmal für x₁>x₂), und
(3) (b^{x₁})^{x₂} = b^{x₁·x₂}.
Gleichung (2.2) lässt sich nun auf x₁≤x₂ erweitern, sodass
(4.1) b^{0} = 1 ∀ b ≠ 0
(4.2) b^{–x} = (1/b)^{x}=1/b^{x} ∀ b ≠ 0
ist, und sowohl (2.1) als auch (3) ermöglichen für b ⪈ 0 die Erweiterung auf rationale Exponenten, wobei
(5) b^{1/n} := ⁿ√{b}
ist.
Die ultimative Erweiterung des Potenzbegriffs liefert die Exponentialfunktion e^{x}, wobei e die Euler'sche Zahl und x eine zunächst einmal reelle Variable ist. Die Funktion e^{x} hat genau sich selbst als Ableitung (Funktion der Änderungsraten in Anhängigkeit von x) hat. Daher lässt sich die Funktion auch durch die Reihe
(6) e^{x} = 1 + x + ½x² + 1/6·x³ + … + 1/n!·xⁿ + …
darstellen, die für jedes x∈ℝ definiert ist, und sich mit Hilfe der Eulerschen Formel
(7) e^{ix} = cos(x) + i·sin(x)
(i ist die imaginäre Einheit, deren Quadrat –1 ist) auch auf Komplexe Zahlen als Explonenten erweitern lässt. Mit Hilfe der Reihendarstellung (6) kann man allerdings sogar quadratische Matrizen und ähnliche potenzierbare mathematische Objekte zu Exponenten machen.
Die Umkehrung von y=e^{x} ist die Logarithmusfunktion x=ln(y) („ln“ wie „logarithmus natualis“, natürlicher Logarithmus), und der erlaubt es, eine Exponenialfunktion zu einer beliebigen Basis b≠0 durch die Exponentialfunktion zur Basis e auszudrücken:
(8) b^{x} = e^{ln(b)·x}
Potenzen sind Multiplikationen mit gleichen Faktoren. So ist etwa
5*5*5 = 5^3
sprich "Fünf hoch Drei"
Oder 2*2*2*2*2*2 = 2^6 "Zwei hoch Sechs"
Ich glaube, dur kannst es dir schon vorstellen. Die "Basis" gibt an, wie der sich wiederholende Faktor ist, der "Exponent", auch "Hochzahl" genannt, wie viele Faktoren du hast.
Natürlich gibt es auch "hoch Eins", das ist dann einfach die unveränderte Basis und "hoch Null", das ist immer 1 (außer bei 0^0, das ist nicht definierbar)
Nein, Potenzen werden potenziert, in dem du "Exponen" viele gleiche Faktoren (Basis) miteinander multiplizierst.
7^4 = 7*7*7*7
2^5 = 2*2*2*2*2
9^2 = 9*9
12^3 =12*12*12
usw.
Was Du hier schreibst, sind Potenzierung von Basen (also Zahlen), nicht von Potenzen.
Du brauchst das nur bei YouTube einzugeben und schon kriegst du viele schöne Videos über das Thema :)
Die Frage hätte man auch bei google eingeben können:
https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)
Lg Tobi
Das ist dort doch eigentlich super erklärt.
2^5 = 2*2*2*2*2 = (5 2er verbunden mit mal)
3^10 = 3*3*3*3*3*3*3*3*3*3 (10 3er verbunden mit mal)
Lg Tobi
Also Erden Potenzen potenziert, indem alle Exponenten miteinander multipliziert werden