Was sind Bijektionen von A -> A?
A = {1, 2, 3}, f : A -> A.
Wenn ich alle möglichen Bijektionen berechne komme ich auf:
1 -> 1
2 -> 2
3 -> 3,
1 -> 2
2 -> 3
3 -> 1,
1 -> 3
2 -> 1
3 -> 2.
Laut einem Freund gibt es bei n Elementen aber nur n! Bijektionen, also höchstens 6. welche Zuordnungen sind denn falsch und wieso. verstehe es nicht, weil jede Kombination bijektiv ist (bildet auf den gesamten wertebereich eindeutig ab.)
2 Antworten
f : {1, 2, 3} —> {1, 2, 3}
Diese Abbildung ist nur bijektiv, wenn sie sowohl injektiv (also jedem Element der Wertemenge genau ein Element der Definitionsmenge zugeordnet werden kann) als auch surjektiv (also alle Elemente der Zielmenge werden getroffen) ist.
Für das erste Element aus der Definitionsmenge gibt es drei Möglichkeiten für eine Zuordung, für das zweite also nur nur noch zwei und für das dritte nur noch eine Möglichkeit. Es gibt also 3! mögliche Zuordnungen und somit 3! Bijektionen.
Hier sind die aufgelistet "{(x,f(x)) | x∈{1,2,3}}":
- Bijektion 1: {(1,1),(2,2),(3,3)}
- Bijektion 2: {(1,1),(2,3),(3,2)}
- Bijektion 3: {(1,2),(2,1),(3,3)}
- Bijektion 4: {(1,2),(2,3),(3,2)}
- Bijektion 5: {(1,3),(2,2),(3,3)}
- Bijektion 6: {(1,3),(2,3),(3,2)}
Bitteschön :)
Wenn beide Mengen endlich sind, dann gibt es exakt 0 Bijektionen.
also mir wurde erklärt, wenn der wertebereich größer gleich dem definitionsbereich ist, dann kann die abbildung bijektiv sein, nur wenn der wertebereich kleiner ist, dann wird die abbildung nie bijektiv sein können.
die menge A ist doch endlich und es gibt 6 bijektionen?
1. Kann es sein, dass du den Ziel-Bereich statt den wertebereich meinst?
Für eine Funktion von A nach B, wobei A und B beide endlich sind gilt: es kann nur eine Bijektion geben, wenn A und B die selba Anzahl von Elementen haven
nein also der prof sagt für
f : A -> B ist A der definitionsbereich und B der Wertebereich
im def.bereich sind die Urbilder vom wertebereich und im wertebereich liegen die Bilder der Urbilder.
Ja aber in meinem beispiel ist doch die Menge a endlich und projeziert auf sich selber ab, also auf die gleiche anzahl der elemente und da haben wir doch gesagt es gibt n! bijektionen
Ja, weil f von A nach A geht, und offensichtlich |A|=|A| gilt.
Wie gesagt, wenn f von A nach B geht, dann kann es nur eine Bijektion geben, wenn A und B gleichmächtig sind.
die menge A ist doch endlich und es gibt 6 bijektionen?
Genau. Du darfst aber nicht vergessen, dass auch auf A abgebildet wird.
Es existiert nur mindestens eine Bijektion zwischen zwei endlichen (nicht leeren) Mengen A und B, wenn |A|=|B| gilt - die Anzahl der Elemente bei beiden Mengen also gleich ist (man spricht von der Mächtigkeit einer Menge).
Zwischen den zwei gleichen Mengen A und A muss es also mindestens eine Bijektion geben, da beide immer die gleiche Anzahl an Elementen haben.
also mir wurde erklärt, wenn der wertebereich größer gleich dem definitionsbereich ist, dann kann die abbildung bijektiv sein [...]
Das ist nicht korrekt. Du verwechselst wahrscheinlich Wertemenge mit Zielmenge. Die Zielmenge ist die Menge, auf die abgebildet wird. Die Elemente, die davon auch wirklich getroffen werden, gehören dann zur Wertemenge. Die Wertemenge ist also eine Teilmenge der Zielmenge. Bei einer Bijektion muss die Zielmenge auch die Wertemenge sein, da sonst die Surjektivität nicht gegeben ist.
Wenn die Mächtigkeit Zielmenge größer oder gleich der Mächtigkeit der Definitionsmenge ist, dann besteht die Möglichkeit von mindestens einer Bijektion; Wenn die Zielmenge auch die Wertemenge ist, dann muss es mindestens eine Bijektion geben.
[...] nur wenn der wertebereich kleiner ist, dann wird die abbildung nie bijektiv sein können.
Das ist korrekt. Gilt genauso, wenn die Zielmenge eine kleinere Mächtigkeit als die Definitionsmenge hat, da die Wertemenge ja eine Teilmenge der Zielmenge ist.
Wenn du noch fragen hast, dann sag einfach Bescheid ;)
ahhhhh ja das mit wertemenge und zielmenge genau, das hab ich ja noch in dieser abbildung gesehen mit den kreisen und pfeilen, sehr gut erklärt, vielen dank!
Die Antwort die du gemeldet hast war Korrekt. Du hast insgesamt NUR 3 bejektionen gefunden, dir fehlen also noch 3.
Deine ersten 3, die nächsten 3 und die letzten 3 repräsentieren jeweils nämlich nur eine Bijektion.
Schaue am besten nochmal nach, wie eine Abbildung von A nach B definiert ist, damit weißt, dass du das Bild von jedem element aus A definieren musst, um die Funktion festzulegen.
sehr gut erklärt, danke!
ich habe noch eine frage, wenn der wertebereich größer als die definitionsmenge ist, dann kann man aber nicht mehr sagen es gibt n! bijektionen, oder?