Sind diese Abbildungen injekti oder surjektiv?
f : R^2 → R^2, (x, y) → (y, x)
Ist nicht injektiv, weil zB für (2,1) und (2,3) x = 2 auf 2 Funktionswerte abbildet und das macht die ganze ABbildung eigentlich schon ungültig, da niemals bei einer Funktion das x auf 2 Funktionswerte haben kann.
Surjektiv ja, weil jedem ELement aus R^2 auch ein Element aus R^2 abgebildet wird.
f : R^2 → R, (x, y) → x + 2y
Das ist quasi eine Ebene im Raum und deswegen ist die Abbildung injektiv, weil laut der Vorschrift x + 2y immer ein eindeutiger Wert für ein Tupel (x,y) abgebildet wird.
Ist auch surjektiv, weils halt ne Ebene ist und die läuft in jede DImension unendlich also wird jedes z im Wertebereich einem Urbild (x,y) zugeordnet.
Stimmt das so und ist meine Begründung ausreichend? Wie sollte ich die Begründung anders formulieren?
2 Antworten
Deine erste Funktion ist injektiv.
Die Argumentation die du lieferst ist nicht korrekt. Du scheinst das x in der Abbildungsvorschrift mit dem x aus der Definition von Injektivität zu verwechseln.
Das x aus der Definition ist hier der gesamte Vektor, nicht nur das als Vektorkomponente, das hier auch x benannt ist.
(Deine Abbildung ist linear. Für lineare Abbildungen gilt, dass sie injektiv ist genau dann, wenn der Kern trivial ist (also nur aus dem Nullvektor besteht). Der einzige Vektor in deiner Abbildung, der auf den Nullvektor abgebildet wird, ist der Nullvektor. Also ist sie injektiv.) Da du aber nur Analysis als Tag gesetzt hast, weiß ich nicht, ob dir diese Argumentation aus der linearen Algebra bekannt ist.
Du schreibst aber auch, dass die Abbildung schon keine Abbildung sei. Das ist auch nicht richtig, weil du wieder das x als Einzelkomponente verwechselst mit dem x aus der Definition.
Schau dir nochmal die Definitionen an und versuche für dich auszumachen, was genau mit x jeweils gemeint ist.
Zu deiner zweiten Funktion:
Diese ist nicht injektiv.
Denn als Beispiel: sowohl (2, 1), als auch (0, 2) bilden auf 4 ab.
also es gilt f(2,1) = 2 + 2*1 = 4 = 0 + 2*2 = f(0,2), aber (2,1) != (0,2).
ahhhhhh danke ich wusste nicht das (x, y) als x aus der Definition gilt. das sagt einem ja keiner also kann man es ja verwechseln.
Ist nicht injektiv, weil zB für (2,1) und (2,3) x = 2 auf 2 Funktionswerte abbildet und das macht die ganze ABbildung eigentlich schon ungültig, da niemals bei einer Funktion das x auf 2 Funktionswerte haben kann.
Was schreibst du da für einen Unfug? Es wird (2, 1) auf (1, 2) abgebildet und (2, 3) auf (3, 2). Die Abbildung ist selbstverständlich injektiv.
Surjektiv ja, weil jedem ELement aus R^2 auch ein Element aus R^2 abgebildet wird.
Das reicht nicht. Du musst zeigen dass jedes Element aud RxR ein Urbild hat. Das geht zwar, aber nicht mit deiner Argumentation.
Das ist quasi eine Ebene im Raum und deswegen ist die Abbildung injektiv,
Der nächste Unfug. Eine Abbildung von RxR nach R kann nie injektiv sein. Warum nicht?
Ist auch surjektiv, weils halt ne Ebene ist
Wo siehst du hier eine Ebene?
Stimmt das so
Nein
ist meine Begründung ausreichend?
Welche "Begründung"?
Wups, eine lineare Abbildung von RxR nach R kann nicht injektiv sein :facepalm:
Das stimmt nicht, da R^2 und R gleichmächtig sind, existiert sogar eine Bijektive Abbildung zwischen R^2 und R.
Jedoch kann keine stetige (und keine lineare) Abbildung von R^2 nach R Injektiv existieren.