Eine Gleichung in der mindestens ein Bruch auftaucht, bei der die Unbekannte im Nenner (also unten im Bruch) steht. Eine Verhältnisgleichung ist das gleiche.
Zum Beispiel:
3 + 2 / (x – 1) = 5 <=> x = 2
Man rechnet im Grunde mit der Basis 3, die Ziffern können also nur 0, 1 und 2 sein. Dabei gelten folgende Bezeichnungen:
0 • 3⁰ = Lam
1 • 3⁰ = Drom
2 • 3⁰ = Tram
Dann kommt der nächst höhere Stellwert, also
0 • 3¹ = Lam
1 • 3¹ = Dromich
2 • 3¹ = Tramich
Man hängt also einfach die Endung -ich dran (außer für 0). Dann kommt der nächst höhere Stellenwert mit der Endung -ir (außer bei 0):
0 • 3² = Lam
1 • 3² = Dromir
2 • 3² = Tramir
Dann komm der nächst höhere Stellenwert mit der Endung -sie (außer für 0):
0 • 3³ = Lam
1 • 3³ = Dromsie
2 • 3³ = Tramsie
Das geht dann so weiter.
Komplizierter wird es dann bei Kombinationen. Es wird - bis auf bei den Zahlen 4 bis 8 (siehe dein Link) - immer erst der höchste Stellenwet genannt, dann die folgenden, z. B.
- Dromsie-Dromir-DromundDromich = 1 • 3³ + 1 • 3² + 1 • 3¹ + 1 • 3⁰ = 40
- Tramsie-Lam-Tramich = 2 • 3³ + 0 • 3² + 2 • 3¹ + 0 • 3⁰ = 60
- Tramsie-Dramir-Tram = 2 • 3³ + 1 • 3² + 0 • 3¹ + 2 • 3⁰ = 65
Für die Zahlen 4 bis 8 solltest du die Bezeichnungen auf der verlinkten Seite von dir einfach auswendig lernen, da sie mit einem >und< verknüpft sind, also einer anderen Grammatik gehorchen. Also für die letzten beiden Ziffern musst du die Begriffe einfach auswendig lernen, die weisen aber auch ein System auf (im Gegensatz zu allen anderen Ziffern werden die letzten beiden vertauscht und mit einem >und< verknüpft).
Ich hoffe, ich konnte helfen :)
Allgemein sieht es so aus. Hast du eine Kosinusfunktion gegeben, dann beschreibt der Faktor a die Amplitude (Höhe der Extrempunkte zur x-Achse), b die Periodenlänge, c die horizontale Verschiebung und d die vertikale Verschiebung ist. Sie hat dann die Form
f(x) = a • cos(2π / b • (x – c)) + d.
Also bei dir lese ich raus, dass du die Kosinusfunktion so transformieren möchtest, dass sie die Periodenlänge 4π hat und um π/2 nach links verschoben wird, richtig?
Das bedeutet, dass keine Veränderung der Amplitude und keine vertikale Verschiebung vorliegt, also ist a = 1 und d = 0.
Die Periodenlänge soll 4π sein, also ist b = 4π. Die horizontale Verschiebung soll π/2 nach LINKS sein, also ist c = –π/2.
Setzen wir alles in die Funktion oben ein, erhalten wir unsere Transformation:
f(x) = 1 • cos(2π / (4π) • (x – π/2)) + 0,
f(x) = cos(1/2 • x – π/4).
Ist es weil die Aussage wahr sein kann, obwohl a^2 niemals ungerade an sich ist?
Das ist falsch. Beispiel: a = 3 => a² = 9 (beide ungerade). Was du meinst, ist wahrscheinlich, dass a² (im reellen) nie negativ ist.
Warum die Kontraposition bewiesen ist, ist dir klar, oder? Also warum, wenn a gerade ist, auch a² gerade sein muss.
Die Kontraposition ist nun, dass wenn a² ungerade ist, auch a ungerade sein muss. Das ist aber gerade äquivalent zu der obigen Aussage. Wieso?
Wenn du weißt, dass aus A gerade B folgt, weißt du auch, dass wenn B nicht eintrifft, A auch nicht eingetroffen sein kann (wäre A eingetroffen, hätte es nach ersterer Aussage ja auch B gemusst). Also aus nicht-B folgt nicht-A und das ist gerade äquivalent zu aus A folgt B. Nichts weiter steht oben. Alternativ kannst du auch einfach zwei Wahrheitstabellen (eine für die Aussage "A => B" und eine für "nicht-B => nicht-A") machen, dann wirst du die Äquiavalenz sehen.
Bei drei Stützpunkten ist es sinnvoll mit einem Interpolationspolynom von Grad zwei anzusätzen, da das Polynom dann eindeutig ist.
Der Ansatz nach Dividierter Differenzen mit Grad(p) = 2 ist dann
p(x) = a + b (x – x_1) + c (x – x_1) (x – x_2).
Nun setzen wir die Stützpunkte ein (z. B. x_1 = 0, x_2 = 1) und erhalten
p(x) = a + b x + c x (x – 1),
also
1 = p(0) = a
5 = p(1) = 1 + b <=> b = 4
3 = p(2) = 1 + 4 • 2 + c • 2 • (2 – 1) <=> c = –3.
Das Polynom ist also
p(x) = 1 + 4 x – 3 x (x – 1),
p(x) = 1 + 7 x – 3 x².
https://na.uni-tuebingen.de/ex/numinf_ss12/Vorlesung8_SS2012.pdf
Das (und weitere Videos von ihm) sollten all deine Fragen klären.
https://youtu.be/E6GINfM-21U?feature=shared
Wir haben es im Grunde mit einem Netz zu tun, wo alle acht Punkte mit drei anderen verbunden sind.
Wenn man also irgendwo eine Ecke anfährt und sie wieder verlässt, kann man sie nur noch einmal anfahren, aber nicht mehr verlassen
Nur beim Startpunkt, hier D, kann man nach dem verlassen sowohl noch einmal anfahren als auch einmal verlassen.
Daran erkennt man, dass es unmöglich ist, das Netz mit nur einer Linie abzufahren.
Denn jede Ecke muss passiert werden, also kann man sie nur einmal passieren, denn beim zweiten Anfahren würde man sie nicht mehr verlassen können. Und wenn man jede Ecke einmal passiert hat, müssen am Ende noch sieben Ecken angefahren werden, da beim Passieren ja nur zwei Strecken an einer Ecke abgefahren wurden (außer Startpunkt, dort wurden alle drei Strecken schon abgefahren), was unmöglich ist, da man nach dem Anfahren die Ecke nicht mehr verlassen kann.
N(A) = 5 + 0,5 Wurzel(A) – 0,1 A
N(A) = 5 + 0,5 A^(1/2) – 0,1 A
N'(A) = 0,5 • 1/2 A^(1/2–1) – 0,1
N'(A) = 0,25 A^(–1/2)
N"(A) = 0,25 • (–1/2) A^(–1/2–1)
N"(A) = –0,125 A^(–3/2)
Bei dem rot markierten Term hätte b_3 statt b_2 stehen müssen.
Tauscht du das auf der nächsten Seite auch noch, ist tatsächlich i = a_2 b_3 c_3.
Und nur so als Tipp, falls du es schon hattest, nutz die Tensorrechnung.
Mit der Substitution u = √(1+x) erhälst du
du/dx = 1/(2 √(1+x²)) = 1/(2 u) => dx = 2 u du
und x = u²–1, wobei u≥0 sein muss.
Setzt du dann die Ausdrücke für dx und x sowie √(1+x) ein, erhälst du
Allerdings steht zum Anfang nicht √(1+x), sondern √(1+x²) im Nenner des Integranden. Hier biete sich die Substitution
x = sinh(u) => dx = cosh(u) du
an, denn sinh²(u) + 1 = cosh²(u). Damit folgt:
Dieses Integral lässt sich dann mit partieller Integration lösen, nämlich so:
I = Int{ sinh²(u) }du
I = Int{ sinh(u) • sinh(u) }du
I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ cosh(u) • cosh(u) }du
I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ cosh²(u) }du
I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ 1 + sinh²(u) }du
I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ 1 } du – Int{ sinh²(u) }du
I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ 1 } du – I
2 I = cosh(u) • sinh(u) – Int{ 1 } du
2 I = cosh(u) • sinh(u) – u + C
I = (cosh(u) • sinh(u) – u) / 2 + C
Setzt man nun zurück ein, aslo u = sinh⁻¹(x), erhält man
I = (cosh(sinh⁻¹(x)) • sinh(sinh⁻¹(x)) – sinh⁻¹(x)) / 2 + C
I = x √(x² + 1)) / 2 – ln(x + √(x² + 1)) / 2 + C
Mit dem ersten Strahlensatz erhält man
|A S| / |S M_a| = |A M_c| / |M_c M|
und mit Ausnutzung von Sietehalbierenden
|B M_c| / |B M| = |B C| / |B M_a|
(1/2 |B A|) / |B M| = |B C| / (1/2 |B C|)
|B A| = 4 |B M|.
|B M| teilt |B A| also in vier gleich große Teile.
Damit erhalten wir dann
|A S| / |S M_a| = |A M_c| / |M M_c|
|A S| / |S M_a| = (1/2 |A B|) / ((1 – 1/4) |A B|)
|A S| / |S M_a| = 2.
Das Verhältnis von langer und kurzer Seite, die durch Teilung vok s_a durch S entsteht, ist also 2:1.
Q • v • B2 = m • v² / r |•r
Q • v • B2 • r = m • v² |:v
Q • B2 • r = m • v |:B2
Q • r = m • v / B2 |:Q
r = m • v / B2 / Q
Setzt man nun v = E / B1 ein, erhält man
r = m • E / B1 / B2 / Q
r = m • E / (B1 • B2 • Q)
r = E / (B1 • B2 • Q / m)
Ableitungsgraph oberhalb der x-Achse => Ausgangsgraph streng monoton steigend
Ableitungsgraph unterhalb der x-Achse => Ausgangsgraph streng monoton fallend
Insgesamt also: Ableitungsgraph nicht auf der x-Achse => Ausgangsgraph streng monoton
An den Nullstellen der Ableitung liegt genau dann ein Extremum vor, wenn von links nahh rechts über die Nullstelle ein Vorzeichenwechsel des Ableitungsgraphen ist.
Versuch es jetzt mal selber mit den Aussagen oben, ich kann gerne bestätigen/korregieren.
Es geht fit!!!
Solltest auf jeden Fall Grundlagen nochmal Wiederholen (außer du fühlst dich sehr sicher), Sichwort Rechengesetze.
Ansonsten eben alles aus dem Schuljahr (in aller Regel wiederholt ihr dort alles, was ihr für die ZAP benötigt).
Darunter fällt unter anderem:
- Potenzgesetze
- Oberflächenformel für versch. Körper
- Volumenformel für versch. Körper
- Mantelflächenformel für versch. Körper
- Flächenformel für versch. Figuren
- Umfangformel für versch. Figuren
- Parabeln (Scheitelpunkt- bzw. Normalform, quadratische Funktion -> pq-Formel/quadratische Ergänzung)
- Exponentialfunktion
- Geraden aufstellen (z. B. aus zwei Punkten: Steigungsdreieck)
Belieb sind für Oberflächen-/Mantelfläche-/Volumenformel Rechenaufgaben zu (quadratischen) Pyramiden, Kugeln und Kegeln.
Quadratische Gleichungen werden sicher auch drankommen. Normalform und Scheitelpunktform sowie quadratische Ergänzung solltest du berechnen bzw. anwenden können.
Der Rest ist ziemlich einfach und ohne weitere Übung zu meistern.
(Wenn ich meine Erfahrungen noch gut im Kopf habe.)
Allgemein lautet die Formel für ein Ereignis E ja einfach
P(E) = [Anzahl günstiger Ergebnisse] / [Anzahl aller Ergebnisse].
Die Anzahl aller Ergebnisse ist durch nCr(20, 3) gegeben. nCr(n, k) steht für den Binomialkoeffizienten "n über k".
Warum nCr(20, 3)? Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl an Kombinationen an, aus n Objekten k zu wählen. In der Aufgabe zieht man ja 3 Karten aus einen 20-Karten-Stapel. Da für das Ziehen der Karten die Reihenfolge irrelevant ist, ist die Anzahl an Möglichkeiten drei Karten zu ziehen gleich der Anzahl an Möglichkeiten 3 Karten aus 20 zu wählen, also gerade nCr(20, 3).
Die Anzahl an günstiger Ergebnisse (also keine rote Karte zu ziehen) ist gerade nCr(4, 0) • nCr(16, 3). Warum?
Es gibt von den 20 Karten genau 4, die rot sind. Man kann also nur aus den 16 anderen Karten ziehen. Die Anzahl an Kombinationen, aus diesen 16 Karten genau 3 zu ziehen, ist gerade nCr(16, 3). Aus den 4 roten Karten darf keine gezogen werden, wofür es nur nCr(4, 0) = 1 Möglichkeit gibt (nämlich keine von denen zu ziehen).
Daher gibt es insgesamt nCr(4, 0) • nCr(16, 3) = nCr(16, 3) mögliche Kombinationen, keine rote Karte zu ziehen. Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit damit
P(B) = nCr(16, 3) / nCr(20, 3)
bzw. ausführlich
P(B) = nCr(4, 0) • nCr(16, 3) / nCr(20, 3).
a)
Sie sind dann parallel, wenn die Richtungsvektoren linear abhängig - das heißt, ein Vielfaches k voneinander - sind. Du erhälst also das Gleichungssystem
1 k = 2 a
a k = 1
–2 k = 4.
Wegen der letzten Gleichung ist k = –2 und damit nach der zweiten Gleichung a = –1/2. Setzen wir beides aber in die erste ein, erhalten wir –2 = –1, was falsch ist.
Es gibt gar kein a für dass die Aufgabe erfüllt ist - die Lösung ist falsch. (Der Lehrer wollte vermutlich als erste Koordinate des Richtungsverktors von g die Zahl 1/2 statt 1 schreiben, dann würde es passen).
b)
Den Schnittpunkt zweier Gerade kannst du z. B. mit Gleichsetzen lösen, also
1 + 1 t = 3 + 0 s
a + 0 t = 2 + 3 s
0 – 2 t = 3 a + 1 s.
Das LGS hat die Lösung t = 2 und a = s = –1.
Damit ist der Schnittpunkt bei (3, –1, –4).
Die Diagonalen halbieren einander.
- Gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang.
- Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
- Die Diagonalen halbieren einander.
Diese drei Aussagen sind wahr.
Wenn f"(x_0) = 0, dann kann an der Stelle x = x_0 ein Wendepunkt (dazu zählen auch Sattelpunkte, z. B. bei f(x) = x³) sein. Es kann aber auch ein Extremum sein, z. B. bei g(x) = x⁴.
Begründung:
Links und rechts der Stelle x = x_0 kann die zweite Ableitung größer oder kleiner null sein. Geometrisch gilt dann
Fall 1: links, rechts > 0 => Tiefpunkt
Fall 2: links, rechts < 0 => Hochpunkt
Fall 3: links, rechts ungleiche Vorzeichen => Sattelpunkt
Um ein Sattel- oder Extrempunkt handelt es sich dann, wenn die erste Ableitung null ist. Um ein Wendepunkt - der kein Sattelpunkt ist - handelt es sich dann, wenn die erste Ableitung ungleich null ist.
Begründung:
Fall 1: f'(x_0) = 0 => siehe oben (im Falle eines Wendepunktes handelt es sich dann um ein Sattelpunkt)
Fall 2: f'(x_0) ≠ 0 => siehe oben (kann kein Extremum Wendepunkt, der kein Sattelpunkt ist)
a) Du kannst eine Geradengleichung g für die Flugbahn für die Raumfähre aufstellen, z. B.
g: x = A + t (B – A)
g: x = (18, –13, 12) + t (–8, 5, –3)
mit t aus [0, 4].
Die Oberfläche K der Halbkugel kannst du ähnlich wie bei Ebenen mit zwei Parametern angeben (eine Kugeloberfläche ist eine verformte Ebene).
K: x = M + (r cos(θ) sin(φ), r cos(θ) cos(φ), r sin(θ))
K: x = 7 (cos(θ) sin(φ), cos(θ) cos(φ), sin(θ))
mit θ aus [0°, 90°] und φ aus [0, 180°].
Nun musst du die Schnittpunkte berechnen. Du kommst auf das Gleichungssystem
18 – 8 t = 7 cos(θ) sin(φ)
–13 + 5 t = 7 cos(θ) cos(φ)
12 – 3 t = 7 sin(θ)
für die Unbekannten t, θ und φ.
Das lässt du den Taschenrechner lösen und kommst auf t = 2 oder t = 3. Was für Werte für die Winkel rauskommen, braucht uns nicht weiter zu interessieren, da wir mit t schon die Schnittpunkte ausrechnen können.
S_1 = (18, –13, 12) + 2 (–8, 5, –3) = (2, –3, 6)
S_2 = (18, –13, 12) + 3 (–8, 5, –3) = (–6, 2, 3)
Bei (2, –3, 6) fliegt die Fähre also in von der Station erfassten Raum ein, bei (–6, 2, 3) verlässt sie ihn wieder.
b) Dor wo z = 0 ist, wird sie nach diesem Modell aufsetzen. Also gilt für
g: x = (18, –13, 12) + t (–8, 5, –3)
dann 12 – 3 t = 0, also t = 4 (deswegen muss t aus [0, 4] sein, siehe Anfang). Damit ist
L = (18, –13, 12) + 4 (–8, 5, –3) = (–14, 7, 0).
c) Hier musst du den Schnittpunkt der Flugbahn und der Ebene, die durch die Landesgrenze geht und parallel zur z-Achse ist, berechnen, also von der Flugbahn
g: x = (18, –13, 12) + t (–8, 5, –3)
und wegen der Landesgrenze
h: x = C + s (D – C)
h: x = (–13, 4.5, 0) + s (6, 18, 0)
noch von der Ebene
E: x = (–13, 4.5, 0) + s (6, 18, 0) + r (0, 0, 1).
Damit erhalten wir das LGS
18 – 8 t = –13 + 6 s
–13 + 5 r = 4.5 + 18 s
12 – 3 t = r
mit der Lösung t = 221/58, s = 5/58 und r = 33/58. Die Höhe ist demnach 33/58 km ≈ 569 m.
Ich weiß nicht, ob es ein Beweis ist, aber ich würde es so begründen:
Wenn a und b aus Z sind, dann kann man für a, b >= 0 direkt sagen, dass auch a + b und a • b in Z liegen, da N eine Teilmenge von Z ist.
Wenn a, b < 0, dann kann man genau umgekehr argumentieren, weil man Z so definieren kann, dass für jedes natürliche a in Z ein –a mit a + (–a) = (–a) + a = 0 gibt.
Wenn also a, b < 0 bzw. –a, –b > 0, dann ist aufgrund der Abgeschlossenheit vol N auch (–a) + (–b) aus N und damit –((–a) + (–b)) = a + b aus Z. Außerdem ist (–a) • (–b) aus N, also auch (–a) • (–b) = a • b aus Z.
Ist nun o.B.d.A. a < 0, b >= 0 und b >= a, dann ist b + a eine natürliche Zahl, also aus Z. Ist b < a, dann ist –(b + a) eine natürlich Zahl, also aus Z. Nach Definition von Z, ist dann aber auch –(–(b + a)) = b + a aus Z. Für a • b kann man analog argumentieren.
Insgesamt ist Z also abgeschlossen bzgl. der Addition und Multiplikation.
Ich hoffe, das hilft dir weiter