injektiv, surjektiv, bijektive Funktion untersuchen?
Hey, ich habe folgende Funktion: (x,y) ∈ R²
y - 2x² + 4x +1 = 0
diese stelle ich erstmal nach y um
y = 2x² - 4x -1
Ich soll nun untersuchen ob die Funktion eineindeutig ist (bijektiv).
Im Skript steht, dass sie eindeutig ist aber nicht eineindeutig (leider steht nicht dabei ob sie nun surjektiv oder injektiv ist).
Also bei mir ist die Funktion weder surjektiv oder injektiv.
Das ist die zeichnerische Funktion in Geogebra:
Ist da ein Fehler im Skript? y(Werte) < -3 werden ja garnicht getroffen. Also werden nicht alle reellen Werte getroffen. Somit ist sie auch nicht surjektiv (injektiv auch nicht, wie man bei einer Parabel unschwer erkennen kann)
es geht erstmal um die b)Also ich geh mal davon aus, dass der Prof, die Aufgaben selbst irgendwo gezogen hat ohne nachzudenken. Der meinte auch, dass das garnicht sein Skript ist und überhaupt. Er hält die VL nur in Vertretung 🤣
Die Musterlösung:
Ok, wenn man das so liest "mit Scheitel (1|-3) ist die Zuordnung eindeutig" und den Wertebereich einschränkt und es so liest, dass eben nur Werte oberhalb des Scheitelpunktes angenommen werden können, dann ist sie surjektiv aber das geht SOOO aus der Aufgabenstellung nicht heraus!Ich nehm jetzt alles zurück und behaupte das Gegenteil. Danke
2 Antworten
Bitte stelle die komplette Aufgabe hier ein, ohne Interpretationen deinerseits. Ich vermute du hast an der Aufgabe bereits etwas nicht vollständig verstanden.
Nachtrag: Wie genau sieht die Musterlösung aus?
"Eindeutig" bedeutet übrigens immer "injektiv", "eineindeutig" ist "bijektiv".
Nachtrag: In dem Zusammenhang der Aufgabe bedeutet "Eindeutig" dass eindeutig jedem x ein y zugeordnet wird. Und das ist der Fall. Die Funktion ist also in y eindeutig.
Eineindeutig ist bei Zuordnungen NICHT dasselbe wie bijektiv. Eineindeutig bedeutet:
Jedes Element aus 𝐵 hat höchstens einen Partner in 𝐴 und umgekehrt. Es muss aber nicht jedes Element von A und B auf jeder Seite vorkommen.
Wir reden hier noch nicht über Funktionen.
Genau. Es geht hier NICHT um Funktionen, sondern um Relationen. D. h. es geht auch nicht um die Frage, ob hier was surjektiv, injektiv und bijektiv ist. Eindeutig heißt zunächst einmal nur: für jedes x gibt es genau ein y in der Relation. Das ist z. B. schon bei d) nicht mehr erfüllt, denn da gibt auch mal 2 (z. B. für x = 0), die Relation ist also nicht eindeutig und damit lässt sie sich nicht als Funktion schreiben. Bei e) haben wir nicht mal für jedes x überhaupt ein y (für x = 0 finden wir so was nicht).
Darum sollte man sich die Definition der Begriff "eindeutig" und "eineindeutig" im Bezug auf Zuordnungen erstmal genau anschauen. Es gilt streng genommen weder eindeutig = surjektiv NOCH eineindeutig = bijektiv. Wie das im vorliegenden Skript steht, muss erstmal nachgelesen werden.
ok danke. ich dachte Eindeutig kann sowohl injektiv, als auch surjektiv bedeuten, die Hauptsache eins von beiden ist erfüllt (bei beiden dann halt eineindeutig bzw. bijektiv).
Zunächst einmal: Du solltest dir klar machen, dass es hier zunächst einmal nur um Zuordnungen geht, also um Relationen. Das ist der abstraktere Begriff. Die Begriffe "surjektiv" und "injektiv" werden in der Regel für Funktionen benutzt (bei Relationen sind die Entsprechungen dazu "rechtstotal" und "linkseindeutig"). Jede Funktion ist eine Relation, aber es gibt eben auch Relationen, die keine Funktionen sind.
Hier in der Aufgabe wird aber überhaupt nicht nach Funktionen oder nach surjektiv und bijektiv gefragt, darum ist es auch kein Wunder, dass das nicht in der Antwort steht! Du hast offenbar angenommen, dass eine Zuordnung dasselbe ist wie eine Funktion, darum geht es hier aber noch gar nicht.
Eine Zuordnung ist eindeutig, wenn jedem x-Wert höchstens ein y-Wert zugeordnet wird - das ist hier der Fall, denn für jeden x Wert gibt es sogar genau einen y-Wert, nämlich y = 2x² - 4x -1.
Bei der nächsten Aufgabe (d) z. B. habe ich eine Relation, die durch
|x-y| = 1
definiert wird. Die ist nicht eindeutig, dann es erfüllen beide Paare (0,1) und (0,-1) diese Relation, denn es gilt |0-1| = |0+1| =1. Dem x-Wert 0 werden also ZWEI y-Werte zugeordnet. Ich kann also mit dieser Relation so keine Funktion definieren.
Eineindeutig bedeutet, dass es für jeden x-Wert höchstens einen y-Wert und jedem y-Wert höchstens ein x-Wert zugeordnet wird. Das heißt noch nicht, dass die Relation auch eine Funktion ist und es heißt auch nicht, dass hier irgendwas injektiv oder bijektiv ist.
Darum ist es so wichtig, diese Begriffe auseinanderzuhalten. Wenn du hier dein vorher vorhandenes Wissen über Funktionen benutzt, kommst du vom Wege ab. Was du hier tun sollst, ist viel schlichter: Du zeichnest Mengen in der Ebene und prüfst ganz formal die Bedingungen für die beiden Eigenschaften "eindeutig" und "eineindeutig". Die Definitionen für diese Eigenschaften stehen irgendwo im Skript. Alles, was du z. B. an Vorwissen aus der Schule mitbringst, lässt du dabei außen vor.
also ist hier auch Surjektivität mit "eindeutig" gemeint? Dass sie nicht injektiv ist, sieht man ja direkt, da es sich um eine Quadratische Funktion handelt, bei der ein y-Wert -> zwei x-Werten zugeordnet ist.