Was ist die Stammfunktion von -3sin(2x)-1?

Danke für eure Hilfe!

Answer 1

[ethan227]

Die Stammfunktion davon lautet :

$\frac{3\cos\left(2x\right)}{2}\ -\ x\ +\ C$ Damit Du die Stammfunktion von f(x) = -3sin(2x) - 1 finden kannst, musst Du zuerst die beiden Funktionen so schreiben :

$-3\ \int\sin\left(2x\right)dx\ \ -\ \int1\ dx$ Wir wissen es schon, dass der Integral eines Koeffizientens

$\int\ k\ dx\ =\ x\ +\ C\$ ist. Deswegen ist die Stammfunktion davon x + C, aber wir werden zuerst das C weglassen.

Jetzt finden wir dann 2x mit u substitutieren, woraus wir die Werte von u und du finden werden.

u = 2x, du = 2

$\frac{1}{2}\int\ \sin\left(u\right)\ du$ Anhand der Stammfunktionsregel bei trigonometrischen Funktionen wirst Du das Ergebnis als -cos u bekommen. Nachdem Du die Werte multipliziert hast, hast Du dann :

$-\frac{\cos u}{2}\ =\ -\frac{\cos\left(2x\right)}{2}$ Jetzt werden wir die Lösung davon zusammenbauen.

$-3\ \cdot\ -\frac{\cos\left(2x\right)}{2}\ -\ x\ =\ \frac{3\cos\left(2x\right)}{2}\ -\ x\ +\ C\$ Beachte mal, dass das hier ein unbestimmter Integral ist, weswegen Du das + C am Ende hinzufügen musst. :)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik ist seit langem mein Lieblingsfach.🧮

Answer 2

[Wechselfreund]

Aus -1 wird -x (klar sein)

-3 sin (2x)

muss was mit cos sein

Probelauf (cos 2x)' = -2 sin (2x)

sieht schon ähnlich aus, nur 2 muss weg, aber 3 hin -> mal 3/2

(3/2 cos 2x)' = - 3/2 * 2 sin 2x passt.

zusammenfassen und +C dahinter.

Answer 3

[Applwind]

Was ist EINE Stammfunktion, nicht die.

int(-3*sin(2x)-1 dx) = int(-3*sin(2x)dx) + int(-1 dx)

= -3* 1/2 * int(sin(2x) * 2 dx) - x

Setze z:=g(x) = 2x, also g‘(x) = 2 und f(g(x)) = sin(g(x)) = sin(z)

= -3/2 * int(sin(z) dz) - x

= 3/2 * cos(2x) - x + C , C€ IR

Comments

[silvercoins2019]

Das plus C kann man aber weglassen, oder?

[Applwind]

@silvercoins2019

Wenn man explizit nach einer fragt, dann ja, sonst nein. Eine Stammfunktion ist nie eindeutig.

Answer 4

[Halbrecht]

Was klar ist : 

aus -1 wird -x

die -3 bleibt erhalten

.

braucht man sich nur noch um sin(2x) zu kümmern 

Da ist Ableitung von cos -sin ist 

kommt hier cos ins Spiel 

aber als -cos

F(x) = -3*1/2*-cos(2x) -x 

= 3/2 * cos(2x) - x