Was ist die Ableitung von xe^(-x)?
Ich bekomm da e^(-x) × (-x+1) raus... und als Ableitung davon krieg ich e^(-x) raus; was hab ich falsch gemacht?
3 Antworten
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Die 1. Ableitung ist doch richtig. In der zweiten hast du vermutlich nicht die innere Ableitung berücksichtigt oder falsch mulripliziert.
f(x) = x * e^(-x)
f '(x) = -e^(-x) * (x - 1) du hast das Minus in der Klammer
f ''(x) = -e^(-x) * (x - 2)
Die Systematik geht in den nächsten Ableitungen weiter.
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So herum geht es auch. Man muss nur aufpassen, wie herum man die Differenz in der Klammer anordnet.
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Korrektur: Das Minus ganz vorn bei der 2. Ableitung muss weg!
Die Ableitungen alternieren.
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Du meinst meine erste Ableitung ist richtig aber dann fügst dann noch ein - vors e hinzu, ich bin verwirrt :/ Aber ansonsten danke Digga
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Mit dem Minus ist es wirklich nicht so einfach. Ich hatte mich bei der zweiten auch erst vertippt.
Bei der ersten aber nicht.
Deine Lösung: e^(-x) × (-x+1)
Wenn du das Minus aus der Klammer herausziehst, erscheint es vorn, und jedes Vorzeichen in der Klammer wird umgedreht.
-e^(-x) × (x-1)
Dies Format ist besser, weil es in den nächsten Ableitungen weiter fortgeführt wird.
f ''' (x^) = - e^(-x) * (x - 3)
Wegen der inneren Ableitung dreht sich das Vorzeichen jedesmal um.
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Hier muss die Produktregel angewendet werden,weil die beiden x nicht zusammengefasst werden können.
aus den Mathe-Formelbuch Kapitel "Differentationsregeln"
(u *v)´=u´ * v +u *v´
u=x abgeleitet u´=1 und v=e^(-x) abgeleitet v´= - 1 * e^(-x) eingesetzt
y´=f´(x)=1 *e^(-x) + x *(-1) * e^(-x)=e^(-x) - x *e^(-x)=e^(-x) * (1 -x)
Ableitung von y=e^(-x) mit der Kettenregel
y=e^z abgeleitet y´=dy/dz= e^z und z= - x abgeleitet z´=dz/dx=- 1
y´=f´(x)= dy/dx=dy/dz *dz/dx=e^z * - 1= - 1 * e^(-x)
HINWEIS : Hier sieht man schön,das sich das "dz" herauskürzt !
y´=dy/dx= dy/dz * dz/dx Kettenregel,siehe Mathe-Formelbuch "Differentationsregeln"
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Das lässt sich auf folgende Form verallgemeinern -->
f(x) = u(x) * e ^ (v(x))
u(x) und v(x) sind Funktionen
Die 1-te Ableitung lautet dann -->
f´(x) = (u´(x) + u(x) * v´(x)) * e ^ (v(x))
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Anwendung auf dein Beispiel -->
f(x) = x * e ^ (-x)
u(x) = x
v(x) = -x
u´(x) = 1
v´(x) = -1
f´(x) = (1 + x * -1) * e ^ (-x)
Das kann man noch umschreiben zu -->
f(x) = (1 - x) * e ^ (-x)
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f´(x) = (1 - x) * e ^ (-x) sollte es natürlich heißen. Habe das ´ vergessen.
f''=-e^(-x)*(2-x) oder e^(-x)*(x-2)
Herzliche Grüße,
Willy