Was ist der Unterschied zwischen einer Teilmenge und einem Element?
Hi,
ich durchblicke den genauen Unterschied zwischen einem Element und einer Teilmenge noch nicht so ganz.
M={{1,3,4},{4,7}} hat besteht ja aus zwei Elementen, {1,3,4} und {4,7}. Aber diese Elemente sind doch auch gleichzeitig Teilmengen von M oder nicht?
Und wenn {1,3,4} und {4,7} Teilmengen von M sind, müssen dann nicht die Elemente innerhalb dieser Teilmenge auch Elemente der Gesamtmenge M sein?
Bin über jede Antwort dankbar.
LG:)
PS: {∅} ist ja in jeder Menge enthalten, wieso ist es ∅ denn dann eigentlich nicht?
3 Antworten
Nein, {1,3,4} und {4,7} sind keine Teilmengen von M. M beinhaltet die zwei Elemente {1,3,4} und {4,7} und es hat die Teilmengen
∅, {{1,3,4}}, {{4,7}} und {{1,3,4}, {4,7}}
Die Teilmengen {{1,3,4}} und {{4,7}} sind einelementig, die Teilmenge {{1,3,4}, {4,7}} ist zweielementig (und gleich ganz M).
Betrachten wir aber die Menge N={1,2,3,4,5,6,7}, dann sind {1,3,4} und {4,7} Teilmengen von N (drei- bzw. zweielementig).
Dein Verständnis-Problem in diesem Fall beruht vermutlich darauf, dass M hier eine Menge von Mengen ist.
Nehmen wir mal ein anderes "anschauliches" Beispiel: Sei M die 'Menge der Generationen in einem Haushalt' ist, dann hat die die Elemente 'Kinder', 'Eltern' und vielleicht noch 'Großeltern'. Nennen wir die beiden Eltern mal Josef und Maria, dann wäre Maria zwar ein Element der Menge 'Personen im Haushalt', aber für sich allein kein Element der Menge 'Generationen im Haushalt'.
Oder ein anderes Beispiel: ein Auto ist eine Menge von vielen Einzelteilen, z. B. Motor, Lenkrad, Innenspiegel, ... Außerdem ist ein Auto ein Element der Menge aller Autos - aber ein Motor allein ist kein Element der Menge aller Autos.
Nein, {1, 3, 4} und {4, 7} sind keine Teilmengen der Menge {{1, 3, 4}, {4, 7}}.
Denn eine Menge A ist genau dann Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element aus A auch ein Element von B ist. Jedoch ist beispielsweise 1 ein Element von {1, 3, 4}, aber 1 ist kein Element von {{1, 3, 4}, {4, 7}}.
Es gibt 4 verschiedene Teilmengen von {{1, 3, 4}, {4, 7}}, nämlich...
∅
{{1, 3, 4}}
{{4, 7}}
{{1, 3, 4}, {4, 7}}
Beachte dass beispielsweise {{1, 3, 4}} und {1, 3, 4} zwei unterschiedliche Mengen sind.
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{∅} ist ja in jeder Menge enthalten, wieso ist es ∅ denn dann eigentlich nicht?
Nein, {∅} ist nicht in jeder Menge enthalten.
Die leere Menge ∅ ist Teilmenge jeder Menge.
(Aber nicht jede Menge enthält ∅ als Element. Insofern würde ich auch die Aussage „∅ ist in jeder Menge enthalten“ als falsch ansehen.)
Beachte auch: {∅} ist nicht das gleiche wie die leere Menge ∅. Denn {∅} ist nicht leer, sondern enthält ein Element. Nämlich ist ∅ ein Element der Menge {∅}.
Vielen vielen Dank für deine Antwort! :) Ich verstehe noch nciht so ganz, warum Die Elemente der Teilmenge nicht in der Gesamtmenge liegen.Ist die Teilmenge nicht so definiert, dass alle Elemente die in der Teilmenge liegen auch in der Gesamtmenge liegen müssen?