Was genau ist eine Mengenfamilie, was wäre ein Beispiel?
Für eine nichtleere Menge Ω und eine Teilmenge A⊆Ω ist die Komplementärmenge Ac (auch kurz das Komplement Ac), definiert als Ac= Ω\A={ω∈Ω|ω /∈A}.Für eine beliebige, nichtleere Indexmenge I und Teilmengen Ai⊆Ω für i∈I ist die Vereinigung definiert als ⋃i∈IAi:={ω∈Ω|∃i∈I:ω∈Ai}.
Ist das also die Menge die alle Elemente enthält, die in der Menge Omega selbst enthalten sind oder in einer Teilmenge von Omega?
Danke im Voraus
2 Antworten
Wenn z.B. Ω = {a,b,c,d} ist und A1 = {a}, A2 = {a,b} und A3 = {b,c} ist, dann ist
wobei ich I = {1,2,3} gewählt habe.
Die "Mengenfamilie" ist streng genommen die Funktion, die ein i auf das zugehörige Ai abbildet.
Das kann man nicht "berechnen". Ich habe einfach definiert, dass A1 = {a} sein soll. De facto könnte A1 auch jede andere beliebige Teilmenge von Ω sein.
Alles was in der Definition steht, ist doch folgendes:
Wenn A1, A2 und A3 beliebige Teilmengen von Ω sind, dann ist deren Vereinigung die Menge aller Elemente, die in mindestens einer dieser 3 Mengen drin liegen (naja, die Definition ist ein wenig allgemeiner und lässt unendliche Mengenfamilien zu, aber du verstehst was ich sagen will ;))
Das ist so, als würdest du schreiben: "Die Summe dreier reeller Zahlen a1, a2 und a3 ist definiert als a1 + a2 + a3". Die Definition gilt für alle reellen Zahlen a1.
Die Vereinigung der A_i liegt in Omega, aber je nach Fesglegung der A_i muss diese Vereinigung nicht alle Elemente aus Omega enthalten. Die Definition von Mengenfamilie finde man hier: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Mengenfamilie#:~:text=Eine%20Mengenfamilie%20ist%20ein%20Begriff,wiederum%20die%20Mengenfolgen%20als%20Spezialfall. Ein Beispiel ist z.B. (A_i)_i mit A_i = (i, i+1) in IR.
Gäbe es da ein konkreteres Beispiel ? Was wenn die Menge Omega= {1,2,{3}} ist? Wie schaut dann die Vereinigung aus, also welche Elemente enthält sie ?
Danke für die Erklärung. Wie hast du zb für den Index 1 die Menge A1 gebildet ? Hast du dafür das erste Element der Menge auswählen müssen oder einfach eine einelementige Teilmenge ?