Menge ist abgeschlossene Teilmenge?
Ich soll beweisen, dass die Menge
A={(x,y,z) element R^3 :sqrt(x^4+y^2 <=z<=1}
eine abgeschlossene Teilmenge im R^3 mit der euklidischen Metrik ist.
Wie mache ich das?
3 Antworten
Eine Funktion ist genau dann stetig wenn das Urbild von abgeschlossen Mengen abgeschlossen ist.
(Falls ihr diese Eigenschaft noch nicht hattet, kannst du diesen Weg leider nicht nutzen)
Du kannst A Umschreiben, also die Menge aller Punkte für die sqrt(x^4+y^2)-z<=0 und z <= 1 gilt.
Das lässt sich nun umschreiben zum schnitt zweier Mengen: einmal die Menge für die nur die erstere Ungleichung gilt, und ein Mal eine Menge für die nur die zweitere gilt.
Die Intervalle (-unendlich; a] sind für jedes reelle a abgeschlossen.
Nutze das und den Satz am Anfang um zu begründen, dass beide Mengen abgeschlossen sind.
Da der Schnitt abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist, ist deine Menge also abgeschlossen
Was ist denn die Definition einer abgeschlossenen Menge die du gelernt hast? Ohne diese Definition wird es etwas schwierig.
Ja und nun? Dann wende doch die Definition genau an. Wähle ein x aus A, bilde eine epsilon Kugel darum herum und begründe, warum in der Epsilon Kugel ausser x mindestens ein weiteres Element aus A liegen muß.
Man kann versuchen, die Definition nachzurechnen.
Schaue nach, welche Eigenschaft erfüllt sein muss und versuche, diese bei der vorliegenden Menge zu beweisen.
Gibt es ein Beispiel dazu im Skript? Es gibt einige Äquivalenzen. Zum Beispiel ist eine Menge abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist. Vielleicht ist das dann einfacher zu zeigen? Da muss man etwas herumprobieren.
A={x element X: für alle epsilon>0 ist K(x,epsilon) Schnitt A ungleich leere Menge}