Was ist das Heron-Verfahren, was ist das Ziel und wie funktioniert es?
3 Antworten
rundas222 hat dir ja schon den Wikipedia-Artikel genannt.
Man kann das Heron-Verfahren noch verbessern :
x_(n + 1) = x_n - (1 / 2) * (x_n - a / x_n) - ((1 / 4) * (x_n - a / x_n) ^ 2) / (2 * x_n)
Ohne die lästigen Indizes also so :
x = x - (1 / 2) * (x - a / x) - ((1 / 4) * (x - a / x) ^ 2) / (2 * x)
beziehungsweise so :
z = x - (1 / 2) * (x - a / x) - ((1 / 4) * (x - a / x) ^ 2) / (2 * x)
x = z
Daran denken, dass es eine Iteration ist, also Schleifenweise wiederholt wird.
Das ist dann zwar streng genommen nicht mehr das Heron-Verfahren, aber das stellt eine verbesserte Variante dar; der Ablauf und alles andere ist genau so wie beim Heron-Verfahren auf der Wikipedia-Seite.
Mit a = 9 und x = 5 als Startwerte erhält man dann :
x_1 = 3.144
x_2 = 3.000149310681818
x_3 = 3.000000000000185
Das konvergiert also schneller als wie beim normalen Heron-Verfahren (siehe Rechnung auf der Wikipedia-Seite).
Ein Näherungrfahren zur Bestimmung von Quadratwurzeln.
Und das geht so: Man will zum Beispiel Wurzel aus 7 berechnen.
Zunächst sucht man die benachbarten Quadratzahlen von 7. Es sind 4 und 9.
Weil 2²=4 und 3²=9 sind, weiß man, dass das Ergebnis zwischen 2 und 3 liegen muss.
Nun bildet man den Mittelwert aus 2 und 3, das ist 2,5. Dazu hat man unbewusst die beiden Zahlen addiert und das Ergebnis durch 2 geteilt.
Nun teilt man 7 durch 2,5. Ergebnis 2,8.
Man bildet wieder den Mittelwert, nun aus 2,5 und 2,8, das ist 2,65.
Nun teilt man 7 durch 2,65, das ist 2,641509. Wieder mittelwert aus 2,65 und 2,641509, das ergibt 2,64575 und ist schon bis auf 5 Stellen identisch mit dem tatsächlichen Wert von Wurzel 7. Führt man dieselbe Rechnung noch weitere Male durch, wird es immer genauer, bis auf viele Stellen nach dem Komma.
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren
Es handelt sich um ein Iterationsverfahren, mit dem man die Wurzel einer beliebigen Zahl größer null berechnen kann.
Die Konvergenz etc. wird ausführlich bei Wikipedia besprochen.