Heron-Verfahren bzw. babylonisches Wurzelziehen?
Was genau wird heier gesagt? Wie erkenne ich denn eine rekursive Folge? Was unterscheidet diese von normalen Folgen und da steht a_n konvergiert gegen WUzrel(x), gilt das dann auch für das davor, also a_(n+1) ??
3 Antworten
Was genau wird heier gesagt?
Antwort
Das wir aₙ gegen √x laufen lassen.
Das die Zahl x aus der wir radizieren durch die Zahl die wir raten bzw. an die Wurzel von dieser Zahl x anähren aₙ + die Zahl die wir raten bzw. an die Wurzel von dieser Zahl x anähren aₙ in klammern durch 2 die näher an die Wurzel von dieser Zahl x angenährte Zahl aₙ₊₁ ist.
Wenn wir die näher angenährte Zahl aₙ₊₁ danach für aₙ einsetzen und dann ein neuen aₙ-Wert ausrechnen, so ist die neue die näher angenährte Zahl aₙ₊₁ näher an der Wurzel von dieser Zahl x dran.
Hier gibt's ein paar Schwierigkeiten:
Die aₙ₊₁ kann theoretich zwischen zwei Zahlen hin und her springen, wobei man für manche geratenden aₙ kein Ergebnis bekommt.
Zudem sind die Variabeln eigenartig gewählt.
Herleitung
Diese Gleichung lässt sich auch durch das Newton-Raphson-Verfahren herleiten und an dieser Herleitung kann man es einfacher verstehen:
Doch Bei Ihnen wurde aₙ₊₁, anstatt xₙ₊₁, und aₙ, annstatt xₙ, genutzt...
Beispiel mit Newton Verfahren
Oder auch auch direkt ausrechnen (Beispiel: 2):
Wie erkenne ich denn eine rekursive Folge?
EIne rekursive Folge ist leicht daran zu erkennen, dass ein Glied in der Folge ein "Ursprungsglied" ist und die Folge Glieder sich aus den ein höheren Folgeglied ergeben. So ist hier aₙ₊₁ das Folgeglied von aₙ und das "Ursprungsglied" aa₁.
Daraus resultierent ist a_{unendlich} das "letzte" Folgeglied.
Was unterscheidet diese von normalen Folgen und da steht a_n konvergiert gegen Wuzrel(x)?
aₙ läuft da zwar auch gegen √x, jedoch ist das keine ganze Folge.
Die Folgeglieder unterscheiden sich her nicht...
Bei den Heronvergehren lassen wir n in aₙ gegen unendlich laufen wodurch aₙ gegen die √x läuft, doch die Folgeglieder unterschiedlich sind.
da steht a_n konvergiert gegen WUzrel(x), gilt das dann auch für das davor, also a_(n+1)
Naja...
aₙ₊₁ wird ja sogesehen für aₙ eingestezt, demnach würde ich ja sagen.
Doch da bin ich mir da nicht so sicher (aka das sollten Sie lieber woanders erfahren).
(aₙ₊₁ ist das Folgeglied von aₙ, demnach folgt es auf aₙ, demnach kommt es eigentlich nicht vor aₙ.)
EndeIch hoffe, dass ich weiterhelfen konnte.^^
Bei weiteren Fragen stehe ich natürlich zur Verfügung. :3
also ist das so, dass diese rekursive Variante dafür ist, dass man sich der Wurzel annähert?
So kann und wird sie meist genutzt.
Aber auch nur die Variante oder und nicht alle anderen rekursiven Varianten?
Ich versteh die Frage nicht.
Jedes mal wenn ich sie lese verstehe ich sie anders...
Könnten Sie das nochmal anders formolieren? ;owo;
Was genau wird heier gesagt?
Es wird ein Verfahren genannt, mit dem man die Wurzel von x berechnen kann.
Wie erkenne ich denn eine rekursive Folge?
Eine Rekursive Folge besteht immer aus einem (oder mehreren) startwerten. Und eine Vorschrift, die Beschreibt, wie man das nächste Folgenglied aus den vorherigen erhält
Was unterscheidet diese von normalen Folge
Bei einer "normalen" Folge werden die Folgenglieder explizit als Term beschrieben, der nicht die vorherigen Folgenglieder enthält.
und da steht a_n konvergiert gegen WUzrel(x), gilt das dann auch für das davor, also a_(n+1)
"Das davor" wird benötigt um a_n überhaupt bestimmen zu können wenn n>0 gilt.
Und ja, wenn a_n gegen einen Wert konvergiert, muss dann auch a_(n+1) gegen diesen Wert konvergieren. Das folgt aus dem Cauchy Kriterium. Genau deswegen setzt man a_n=a_(n+1) um damit den Grenzwert der Folge zu bestimmen zu können. (Wenn man vorher gezeigt hat, dass die Folge konvergiert)
Eine rekursive Folge erkennst du daran, dass zur Berechnung des nächsten Folgenglieds das vorherige Folgenglied (oder mehrere frühere Folgenglieder) benutzt wird. Um hier a_(n+1) zu berechnen, wird an zwei Stellen a_n verwendet, also das Folgenglied vor a_(n+1). Also ist die Folge rekursiv.
Mit a_n ist bei der Konvergenz die GANZE Folge gemeint. Das ist in der Notation oft missverständlich, aber hier kann ja gar kein einzelnes Folgenglied gemeint sein, denn das verändert sich ja nicht. Die Folge a_n konvergiert für n gegen unendlich aber gegen die Wurzel aus x.
Hilft dir das?
Ja danke, aber was ist x? Ist das mein erstes Glied der Folge? Also konvergiere ich eigentlich immer gegen die Wurzel des ersten Glieds bei rekursiven Folgen?
x ist irgendeine Zahl, die du am Anfang fest legst, also von der du die Wurzel ausrechnen willst.
Um ein Gefühl dafür zu bekommen: Probiere es mal aus. Vielleicht willst du die Wurzel von 2 berechnen. Dann setzt du jedes Mal x = 2. Dann steht da a_0 ist x also auch a_0 = 2. Damit kannst du a_1 berechnen, dann a_2 usw. Die Folgenglieder a_n sind dann immer näher an der Wurzel aus 2
Das x in √x ist die Zahl x aus der Sie die Quadratwurzel wissen wollen.
Das x in der anderen Formel ist eine Zahl x, ist das gleiche x wie aus der √x.
ACHSO: also ist das so, dass diese rekursive Variante dafür ist, dass man sich der Wurzel annähert? ABer auch nur die Variante oder und nicht alle anderen rekursiven Varianten?