Warum strebt der Grenzwert gegen 0 obwohl ich unendlich habe?
n*q^n strebt für n - > 0,falls |q|<1, aber wieso obwohl da ein n vorne ist?
2 Antworten
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q^n geht schneller gegen 0, als n gegen unendlich geht. Exponentielles Wachstum und so.
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Bei einer Klausur musst du es natürlich korrekt beweisen.
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Das könnte man mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium zeigen und das funktioniert auch für (nᵏqⁿ) mit beliebigen k ∈ ℕ.
Der Bruch geht gegen 1. Das kann man durch Anwendung des binomischen Lehrsatzes, Kürzen von nᵏ und mit den Grenzwertsätzen zeigen. Der gesamte Ausdruck geht also gegen |q|. Der Betrag wird also ab einem Folgenglied immer mindestens um einen Faktor q' mit q' < 1 kleiner. Aus der Konvergenz der geometrischen Folge (q'ⁿ) folgt dann auch die Konvergenz der gegebenen Folge.
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Alles klar, aber wieso ist der Wert 0? Weil das bekommt man ja nicht unbedingt aus dem Quotientenkriterium raus, oder?
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Die Reihe würde konvergieren. Nach dem Nullfolgenkriterium muss die Folge eine Nullfolge sein.
Ist diese Begründung gehnemigt in einer Uni Klausur oder müsste man da anders vorgehen