Warum sind rationale Zahlen abzählbar?
Hallo,
Ich versteh nicht warum rationale Zahlen abzählbar sein sollen. Ich mein es gibt ja beispielsweise unendlich viele rationale Zahlen zwischen 0 und 1, wo ist das Bitteschön abzählbar ?
6 Antworten
Abzählbar bedeutet, dass du Zahlen sozusagen durchnummerieren kannst. Du kannst die rationalen Zahlen quasi so aufstellen, dass du jedem einen Zettel mit einer Nummer geben kannst. Stell es dir so vor: Da steht ein Mann mit einer Kiste mit unendlich vielen Keksen (genauer: mit so vielen Keksen wie es natürliche Zahlen gibt). Zu jedem Keks gibt es einen Zettel mit einer Nummer (der erste hat die 1, der zweite die 2 usw.
Wenn du z. B. die Zahlen zwischen 0 und 1 betrachtest, dann kannst du das so machen:
Zuerst bekommt die 0 einen Keks mit Zettel.
Dann die 1. Dann 1/2. Dann 1/3. Dann 2/3. Dann 1/4. Dann 3/4 (denn 2/4 = 1/2) hat ja schon einen. dann 1/5, 2/5, 3/5 usw.
Jede Zahl wird irgendwann drankommen, du kannst sogar ausrechnen, wann das spätestens der Fall gewesen ist. Auch wenn das insgesamt unendliche lange dauert, für jede einzelne Zahl ist das irgendwann erledigt. Das geht mit den rationalen Zahlen - und darum heißen die abzählbar. Mit den reellen geht das nicht, mit den komplexen erst recht nicht.
Hat mir am meisten geholfen bekommst morgen den Stern xD.
Hatte kp das das Thema so ausartet :D.
"abzählbar" und "unendlich viele" ist KEIN Widerspruch!
Glaubst du, dass nur endliche Mengen abzählbar sein können? Dann täuschst du dich!
Es gibt z.B. unendlich viele natürliche Zahlen. Trotzdem ist die Menge aller natürlichen Zahlen abzählbar :-)
"Abzählbar" bedeutet in diesem Fall nicht, dass man eine Anzahl aller rationalen Zahlen als eine konkrete positive ganze Zahl angeben kann, sondern es geht um eine "abzählbar unendliche Menge" von Zahlen. Es ist möglich, jeder rationalen Zahl auf bestimmte Weise eine eindeutige Nummer zuzuordnen, die aus der Menge der positiven ganzen Zahlen stammt. Bei dieser Nummerierung der rationalen Zahlen gibt es aber keine "größte Nummer". Man kann jedoch, wenn man so eine Nummerierung hat, mit gewissem Recht sagen, dass die Menge Q aller rationalen Zahlen die "gleiche unendliche Mächtigkeit" wie die Menge N aller natürlichen Zahlen (1,2,3,4, ......) hat.
Eine Menge M heißt abzählbar, wenn es eine Bijektion zwischen M und den natürlichen Zahlen gibt.
Das ist bei der Menge der rationalen Zahlen der Fall, Beweise findest du dazu im Internet.
https://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument
Rationale zahlen sind die Zahlen, die du genau aufschreiben kannst. Also zahlen, die du nicht runden müsstest... Wenn du genug Zeit hast eine 100 stellige Zahl zu schreiben. Das meint abzählbar... Ist vielleicht ein schlechtes Wort.
naja, wenn man 1/3 schreibt, kann man sie ja auch ausschreiben oder...?
Nein, abzählbar heißt etwas ganz anderes. Mit dem Aufschreiben hat das überhaupt nichts zu tun. Und was heißt "nicht runden müssen"? Wenn ich 1/3 als Dezimalzahl schreiben will (ohne Periodenzeichen), dann geht das auch nicht ohne Runden.
Mit der Anzahl der Stellen nach dem Komma hat abzählbar nichts zu tun.
"Die Zahlen, die du genau aufschreiben kannst" ist ebenfalls eine unzutreffende oder wenigstens allzu schwammige bzw. unklare Ausdrucksweise. Ich nehme mal etwa an, dass kein Mensch in der Lage ist, eine (Dezimal-) Zahl genau hinzuschreiben, die zum Beispiel eine Billion Stellen nach dem Komma hat. Jede solche Zahl würde aber zur Menge der rationalen Zahlen gehören. Andererseits ist zum Beispiel die Zahl 1/7 = 0.1428571428..... nicht mit endlich vielen Dezimalen genau darstellbar. Trotzdem ist sie rational.
Achso danke ich glaub ich habs geblickt das Wort is aber wirklich blöd gewählt xD
Nein, rationale Zahlen sind die, die gleich einem Verhältnis (Quotient) zweier ganzer Zahlen sind. Von "Q" wie "Quotient" kommt auch die Bezeichnung Q für die Menge der rationalen Zahlen.
Auch 1/3, 1/7, 5/13 etc hätten als Kommazahl unendlich viele Nachkommastellen. Sie sind aber rational, da sie Quotienten je zweier ganzer Zahlen sind.