Gibt es mehr rationale als natürliche Zahlen oder gleichviele?
Sind es gleich viele, da es von beiden unendlich viele gibt?
Oder gibt es mehr rationale Zahlen, da zwischen zwei natürlichen Zahlen unendlich viele rationale sind?
14 Antworten
Die Menge der natürlichen Zahlen ist gleichmächtig zur Menge der rationalen Zahlen. In diesem Sinne gibt es genausoviele rationale wie natürliche Zahlen.
"Gleichmächtig sind: \Bbb N, \Bbb Z und \Bbb Q (also die Mengen der natürlichen, der ganzen und der rationalen Zahlen)." (http://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%A4chtigkeit_%28Mathematik%29)
Den Beweis findet man hier: http://de.wikipedia.org/wiki/CantorserstesDiagonalargument#VorgehenbeiCantorserstemDiagonalargument
Gibt gleichviele, da man jeder natürlichen Zahl eine rationale Zahl zuordnen kann, und umgekehrt. Gibt allerdings mehr reelle Zahlen als Natürliche Zahlen, da es dort keine solche Zuordnung gibt.
Man sagt daher, N und Q sind "abzählbar unendlich", während R "überabzählbar unendlich" ist.
Auf den ersten Blick müsste man denken, dass es viel mehr rationale Zahlen gibt, aber da beide gegen +- unendlich gehen... ist die frage eigentlich belanglos, da es von beiden "unendlich viele" gibt ^^
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Man könnte sagen: Für den Wertebereich 0 bis 2 000 000 gibt es mehr rationale als natürliche zahlen, aber gegen unendlich ist das wie gesagt etwas sinnfrei.
Das ist durchaus nicht belanglos. Im Sinne der Mengenlehre gibt es genausoviele rationale wie natürliche Zahlen, aber mehr reele Zahlen als natürliche bzw rationale. Stichwort: Mächtigkeit von Mengen.
Die Natürlichen Zahlen sind abzählbar unendlich. Die Menge der Reellen Zahlen hingegen ist überabzählbar unenedlich.
Sprich....wenn Du unendlich viel Zeit hast, kannst Du alle Natürlichen Zahlen zählen, kommst aber im Bereich der Reellen nicht mal von 0 bis 1...denn schon da alleine sind mehr reelle Zahlen als alle Natürlichen überhaupt.
Ach wenn man schom beim Lesen ein Problem hat rational und reell auseinander zu halten...
Die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen ist - ebenso wie die der rationalen Zahlen - abzählbar unendlich. Wie bereits in einer anderen Antwort erwähnt, gibt es auch überabzählbar unendliche Mächtigkeiten von Mengen.
Mathematiker sagen also, dass es gleich viele rationale wie natürliche gibt, weil du jede rationale Zahl auf eine natürliche abbilden kannst und dir dabei die natürlichen niemals ausgehen.