Warum ist K\{0} auch eine abelsche Gruppe?
Wieso lässt sich, wenn man z. B. x+y = x => y = 0 beweisen möchte, dass auch in einer Gruppe K\ {0} machen, also wenn man z. B. diese Rechenregel hat, und sie mit den Axiomen der Addition beweist, dann fehlt doch trotzdem das neutrale Element 0?
Wieso ist K\{0} trotzdem eine abelsche Gruppe, in der auch z. B.
x+y=0 => < y = -x
3 Antworten
Kann sein, dass ich mich nicht genug auskenne, aber K/{0} kann keine abelsche Gruppe bezüglich der Addition sein.
0 ist ja nur die Bezeichnung für das Nullelement (oder auch additiv neutrales Element genannt) der Gruppe. Und eine Gruppe besitzt ein Nullelement - das ist eine Voraussetzung bzw. ein notwendiges Kriterium dafür, dass eine Menge als Gruppe bezeichnet werden darf.
+ ist im Allgemeinen natürlich auch nur ein Operator für eine Verknüpfung. So wie ich das kenne, nennt man das Neutralelement zu einer Verknüpfung + einfach 0. So kann man das Neutralelement zur Verknüpfung • besser unterscheiden, wenn man es z.B. mit Körpern zu tun hat (dort darf man aber 0 weglassen, damit (K/{0}, •) eine abelsche Gruppe ist - vlt. ist das so gemeint).
Am besten spricht man zum Verständnis des allgemeinen Gruppenbegriffs gar nicht von "0", weil man dann automatisch an die Zahl denkt, deren Addition zu einer anderen diese unverändert läßt. Um Zahlen geht es aber im Grunde gar nicht; einfach an Zahlen zu denken wäre "viel zu eng".
Bei irgendeiner Menge mit irgendeiner Verknüpfung nennt man ein Element, das die eben genannte Eigenschaft hat, neutral. Verknüpft man es mit irgendeinem Element, so kommt einfach dieses Element heraus (von links wie von rechts).
Dafür sind dann die Zahl 0 bezüglich (Z,+) und die Zahl 1 bezüglich (N,*) nicht mehr als wichtige Beispiele [Z=Menge der ganze Zahlen, N=Menge der positiven ganzen Zahlen], aber auch das n-Tupel aus lauter Nullen im Vektorraum Q^n [Q=Menge der rationalen Zahlen]. Es gibt wahnsinnig viele Beispiele...
Hast du dir mal überlegt, dass es bei einer beliebigen Menge mit einer beliebigen Verknüpfung immer nur höchstens ein neutrales Element geben kann? (Nimm an, du hättest zwei neutrale Elemente und verknüpfe die beiden dann miteinander: Was lässt sich über das Ergebnis sagen?)
Hat man nun aber (wie in Z) zwei Verknüpfungen (in Z: + und die Multiplikation *), so kann man bezüglich beider jeweils fragen, ob es dazu ein neutrales Element gibt. Das sind zwei völlig getrennte Fragen, und ein neutrales Element bezüglich der einen braucht mit einem neutralen Element bezüglich der anderen überhaupt nichts zu tun zu haben. In Z ist 0 bezüglich + neutral, 1 bezüglich *.
Damit eine abelsche Gruppe vorliegt, muss zunächst mal die Verknüpfung, die gegeben ist, sowohl kommutativ als auch assoziativ sein, und es muss ein neutrales Element bezüglich der Verknüpfung in der Menge vorhanden sein. Der entscheidende Punkt beim Gruppenbegriff kommt jetzt aber erst noch: Es muss zu jedem Element der Menge ein Element in der Menge existieren, so dass die Verknüpfung der beiden das neutrale Element ergibt. Das ist in Z bezüglich der Addition (0 ist neutral) der Fall, bezüglich der Multiplikation (1 ist neutral) aber nicht: Du kannst z.B. in Z die Zahl 4 nicht mit einer anderen Zahl multiplizieren, so dass 1 herauskommt. (Ja, mit 1/4 schon, aber 1/4 liegt eben nicht in Z!) Bei der Zahl 0 hast du "überhaupt keine Chance", denn womit auch immer du multiplizierst, es kommt 0 (und eben nicht 1) heraus.
Von einem Körper spricht man, wenn man auf einer Menge K zwei Verknüpfungen hat (nennen wir sie # und °), so dass
1) K bezüglich # eine abelsche Gruppe ist (deren - wie wir ja wissen, eindeutig bestimmtes - neutrales Element O heißen möge) und
2) K\{O} bezüglich ° ebenfalls eine abelsche Gruppe ist und
3) für alle a,b,c in K gilt: (a#b)°c = a°c # b°c.
Für Z (mit + als # und mit * als °) gelten zwar 1) und 3), aber nicht 2). Es liegt also kein Körper vor.
Für Q dagegen gelten 1), 2) und 3). Es liegt also ein Körper vor.
Es hat keinen Sinn, von K bzw. K\{O} als algebraischen Strukturen zu sprechen, wenn man nicht weiß, welche Verknüpfungen gemeint sind.
Wenn K mit den Verknüpfungen #, ° ein Körper ist und die neutralen Elemente O bzw. I heißen, so ist K bezüglich #, K\{O} bezüglich ° eine Gruppe. Man betrachtet also nicht etwa # auf der Menge K\{O}. Das wäre ja nicht einmal eine Verknüpfung auf dieser Menge! (Z.B. läge I # (-I) = O gar nicht in K\{O}.)
Sorry, dass das alles so lang ist - aber man kann beim Einstieg in algebraische Grundbegriffe gar nicht behutsam genug sein!
Wenn (K, +, 0 ) deine abelsche Gruppe ist, ist (K\{0}, +) keine abelsche Gruppe, da kein neutrales Element vorhanden ist.
Falls man aber K={0,1} hat (und die abelsche Gruppe (K, +)), kann man für K\{0} die folgende Abbildung definieren:
* : K\{0} x K\{0} -> K\{0} , (1,1) |-> 1
Mit dieser Verknüpfung ist (K\{0}, *) eine abelsche Gruppe.
das ist die "normale" Multiplikation, wie sie allgemein bekannt ist
Kannst du das mit der Verknüpfung nochmal genauer erklären, ich glaube, das verstehe ich nicht ganz