Folgender Tipp sollte dich zur Lösung bringen.
Berechen den Abstand vom Parkplatz zu einem beliebigen Punkt der Fulda. Der Punkt am Flussufer der Fulda ist durch (x | 2 - 1/2 x^2) gegeben.
Nun wirst du feststellen, dass dieser Abstand eine Funktion ist, die von x abhängt.
Vielleicht hat diese ja ein globales Minimum...
Ein Beispiel wäre: über IR.
π/2 ist die kleinste positive Nullstelle des Cosinus
Es gibt folgende Formeln:
Nun musst du erkennen, welche der drei Formeln du verwenden musst. Bei a) hast du
Also kannst du die zweite Formel verwenden:
Alternativ kannst du die erste Formel verwenden:
Netterweise wurde schon das rechtwinklige Dreieck mit den Eckpunkten A,C und M eingezeichnet. Du weißt, dass im rechtwinkligen gilt: sin(20°)=r/AM (Der Sinus eines Winkels ist ja Gegenkathete durch Hypothenuse; der Winkel von 40° wird durch AM halbiert, weshalb man auf 20° kommt). Nun kannst du nach AM umformen und AM berechnen.
Du kannst dir leicht überlegen, dass die Kugel am meisten an dem Punkt herausragt, der sich direkt überhalb von M befindet. Diesen Punkt nennen ich einfach mal P.
Nun ergibt sich AP=AM+MP=AM+r. Wenn du jetzt noch 65mm abziehst, kommst du auf x.
Man kann keinen Wert angeben, wie oft sich das Vorderrad dreht. Man kann aber ein Ergebnis in Abhängigkeit des Umfangs U des Rads bzw. dem Radius R des Rads angeben:
So ist die Anzahl der Drehung N gleich 5500/U. Wenn man möchte kann man U auch "explizit" angeben und durch 2πR ersetzen. Das übersteigt aber das Niveau der vierten Klasse. Man könnte aber darauf kommen, dass der Umfang irgendwie von Radius amhängt.
Du kannst den x-Wert einfach in f einsetzen:
Da x-1 für x=1 gleich 0 ist, ist f auch schon 0. Deshalb verläuft der Graph durch (1,0)
Das ist leider kein gültiger Beweis. Du kannst von beiden Seiten einer Ungleichung Werte abziehen. Jedoch kannst du den Ausdruck |(-1)^n - a| nicht durch epsilon ersetzen. (Beispiel hierfür: 1 <= 10, 1 < 100, aber 100 <= 10 stimmt nicht, obwohl die Aussagen davor wahr sind)
Jetzt zu der Aussage, die du zeigen/ bzw. widerlegen sollst. Es gibt verschiedene Ansätze, die dich zur Lösung führen:
Wenn (K, +, 0 ) deine abelsche Gruppe ist, ist (K\{0}, +) keine abelsche Gruppe, da kein neutrales Element vorhanden ist.
Falls man aber K={0,1} hat (und die abelsche Gruppe (K, +)), kann man für K\{0} die folgende Abbildung definieren:
* : K\{0} x K\{0} -> K\{0} , (1,1) |-> 1
Mit dieser Verknüpfung ist (K\{0}, *) eine abelsche Gruppe.
Du kannst die einzelnen Summanden durch 1/n nach unten abschätzen.
Dann hast du genau die geometrische Reihe stehen:
(Ich habe bei der zweiten reihe eine Indexverschiebung gemacht)
Die harmonische Reihe divergiert bekanntermaßen und damit auch deine Reihe.
Nein, lässt es sich nicht:
Angenommen für gegebene 4x4 Matrix A gilt:
Sei das Minimalpolynom zudem
Folglich ist die maximale Größe eines Jordanblockes 2.
Nun gibt es folgende Möglichkeiten für die Größe der Jordanblöcke:
2x Größe 2 und 0x Größe 1
oder 1x Größe 1 und 2x Größe 1
Folglich kann man die Jordanform einer Matrix nicht nur mit Hilfe des char. und min. Polynoms eindeutig bestimmen.
Wenn die Matrix aber nur Größe 3 oder weniger hat, kann man die Jordanform eindeutig bestimmen.
Da pi nahe an 3 liegt, kann man den Flächeninhalt eines Kreises so annähernd berechnen.
Wie du richtig festgestellt hast gilt: bzw.
und bzw.
Wichtig: Es gibt nicht "die" Stammfunktion (bzw. Aufleitung) von einer Funktion. Es gibt unendlich viele Stammfunktion, da man eine beliebige Konstante c addieren kann, die beim Ableiten wieder wegfällt.
Du kannst das LGS Gaußen und dann den Lösungsraum bestimmen. Dieser ist ein affiner Unterraum, in dem alle Lösungen enthalten sind.
Wenn du zeigen möchtest, dass eine Funktion in einem Punkt x_0 nicht stetig ist, suchst du dir eine Folge a_n, die gegen x_0 konvergiert, aber f(a_n) konv. nicht gegen f(x_0).
Hierfür kannst du dir die Folge a_n definieren mit a_n = (1/n , 1/n^2). Diese Folge konvergiert gegen (0,0). Betrachten wir nun f(1/n , 1/n^2): also konvergiert f(a_n) gegen 1/e , was ungleich 0 ist.
Damit hast du gezeigt, dass f in (0,0) nicht stetig ist.
Du hast vergessen um den ersten Term Klammern zu setzen. Deswegen hast du nicht richtig ausmultipliziet.
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei Teilern. Die 1 hat jedoch nur einen Teiler nämlich die 1.
Zudem wäre die Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen nicht mehr Eindeutig, wenn die 1 eine Primzahl wäre:
Das war nur ein Besipiel und geht analog mit anderen natürlichen Zahlen.
Zu 1.: Wenn du die Gleichung hast und wissen willst, für welches t die Gleichung gleich c ist, dann kannst du mit dem Logarithmus nach t auflösen:
Zu 2.: Wenn der Preis von einem Heft (100€) jährlich um 15% steigt, dann hat das Heft nach einem jahr den 1,15 fachen Preis (115€).
Wie man darauf kommt: Sei P_a der Preisfür das Heft. Nach einem Jahr steigt der Preis um 15%. Also ist der neue Preis P_n = P_a + 15%*P_a.
Da 15% = 15/100 ergibt sich für den neuen Preis P_n = 115/100 P_a = 1,15 P_a.
Es muss also 1,15 heißen und nicht 0,15 (das würde bedeuten, dass das Heft jährlich 85% weniger kostet)
Zu 3.:
6% = 6/100 = 0,06
Das liegt daran, dass Sinuis (und auch Cosinus) 2π-periodisch Funktionen sind.
Darum treten alle 2π die gleichen Funktionswerte auf. Zum Beispiel gilt:
Nun zu der in deiner Frage gegebenen Funktionen:
a)
b)
Die viereckigen Glasscheiben haben die Form eine Raute.
c)
Die Glasfläche besteht aus 70 Dreiecken und 607 Rauten, die doppelt so groß, wie die Dreiecke sind. Also kann man die Rauten in 2 Dreiecke aufteilen. Damit besteht die Glasfläche aus 70+2*607=1284 Dreiecken.
Sei x nun der Flächeninhalt eines Dreiecks.
Das entspricht ca. 1,56 m^2 pro Dreieck. Also sind die Rauten 2*1,56m^2=3,12m^2 groß.
d)
e)
Sei M die Fläche der vier Seiten. a ist die Seitenlänge der Grundfläche und h_a ist die höhe des Dreiecks der Seitenfläche. h ist die Höhe der Pyramide.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
Nach einsetzen:
Nun der Neigungswinkel: Wir betrachten wieder das Dreieck aus Dreieckshöhe h_a, Pyramidenhöhe h und halber Seitenlänge des Quadrates.
f)
Sei V_L das Volumen der Louvre-Pyramide und V_C das der Cheopspyramide.
Mit tan kann man nun h_C ausrechnen:
Nun ergibt sich aus der oberen Formel:
Also passt die Louvre-Pyramide 246 Mal in die Cheopspyramide rein.
(Ich habe die Ergebnisse nicht mehr überprüft, aber die Ideen sollten stimmen.)