Warum ist die Basis des Logarithmus immer positiv?
log-2(4)=2 Warum geht das nicht? Bzw. warum hat man es als es geht nicht definiert?
4 Antworten
Das liegt einfach daran, dass eine Log-Funktion stets als Umkehrfunktion zu einer Exponentialfunktion f(x) = a^x definiert ist. Und solche Exponentialfunktionen sind nur für a > 0 definiert, damit sie stetig sind.
Dementsprechend ist die Basis der entsprechenden Umkehrfunktion (log) eben auch nur für eine positive Basis definiert.
Was - wie Du an Deinem Beispiel zeigst - nicht bedeutet, dass es nicht einzelne Fälle gibt, in denen eine negative Basis nicht auch sinnvoll erscheinen mag.
Das geht,
aber wegen logb(x) = ln(x)/ln(b) muss man für negative Basen b dann auf den komplexen Logarithmus zurückgreifen. Dieser ist nicht eindeutig bestimmt und man muss sich mit Riemannschen Flächen auseinandersetzen. Bis auf pathologische Fälle ist das vermutlich nicht sehr nützlich.
Der Logarithmus ist definiert als Lösung für folgende Gleichung a^x=b -> log a (b)=x, also zum Beispiel 2^x=64 -> log 2 (64)=6
Deine Fragestellung ist also warum (-2)^x=4 keine Lösung liefert, wenn man den Logarithmus ansetzt?
Möglich wäre ja der lg zur Basis (-2) von 4 ==> das wäre dann 2, so wie du es schon beschrieben hast, weil man sich eben denkt:
Weil: (-2)³ =-8 .
Da müsste aber der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion aus dem Bereich der Ganzen Zahlen sein, und die Funktion wäre dann alternierend, also
Negativ,nicht definiert...nicht definiert, positiv,nicht
definiert...nicht definiert,negativ,nicht definiert...
Wäre dann also ne ziemlich "zerhackte" Funktion. Mit sowas kann man nicht rechnen - ergo nichts vernünftiges anfangen....
Warum man das also als nicht geht, liegt daran, dass der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist. (d.h. man löst die Exponentialfunktion nach x auf und vertauscht dann x und y, um die neue Funktion zu erhalten)
Da der Wertebereich der Exponentialfunktion R+ (alle Reellen Zahlen) ist, ist der Definitionsbereich (=alle x-Werte, die du einsetzen kannst) der Umkehrfunktion, also des natürlichen Logarithmus, eben auch R+.
Die allgemeine Potenz a^x ist definiert als a^x := e^(x *ln(a)), und dies geht halt nicht für a<0 wegen der Definitionsmenge von ln.
Und weil es also keine allgemeinen Potenzen a^x mit a<0 gibt, gibt es auch keine Logarithmen mit negativer Basis.
Es gibt verzwickte Begründungen, die an die Division durch 0 erinnern. Das zitiere ich jetzt nicht. Da kannst du selber gucken:
https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus
Such mal nach "Nichtpositive Zahlen".
Such aber mit CNTL/f und nicht mit der Suchfunktion im Text, die bringt dich ganz woanders hin!
Argument "nichtp" reicht
Ja