Was sagt mir der Logarithmus?
Hey, Ich lerne gerade Exponentialfunktionen und Logarithmus, aber ich verstehe nicht was ich am Ende davon habe. Ich weiß man löst eine Exponentialfunktion mit Log auf, aber was mache ich mit dem Ergebnis dann? Was ist das , was sagt es aus? Mir wurde es aus meiner Vorlesung nicht klar, denn es wurde nur der Weg und die Regeln gezeigt. Und wie rechne ich den Log zur Basis 7 z.B. , wenn ich nur Log und Ln auf meinem Taschenrechner habe? Und bitte nicht zu kompliziert ich studiere nur WiWi und kann mit technischen Beispielen nichts anfangen. Danke.
8 Antworten
Hallo,
Logarithmen sind nichts anderes als Exponenten, mit der irgendeine Basis potenziert wird. Der bekannteste Logarithmus ist sicher der Zehner-Logarithmus, also der zur Basis 10, der oft als log abgekürzt wird.
So ist log (100)=2, weil 10^2=100
Der Logarithmus verrät Dir also, mit welcher Zahl Du z.B. eine 10 potenzieren mußt, um eine andere Zahl als Lösung zu erhalten.
Das ist bei der 10 und der 100 ja noch ganz einfach, weil man auch ohne ein Mathestudium darauf kommen kann, daß 10*10, also 10^2=100 ist.
Auch auf 1000, also log (1000)=3 kann man kommen, denn 10^3=10*10*10=1000.
Bei der 1 wird es dann schon schwieriger: 10 hoch wieviel ist 1?
Da hilft die Überlegung, daß Du, um etwa von 10^2 auf 10^3 zu kommen, Du 10^2 mit der Basis, also mit 10 multiplizieren mußt.
Von 10^3 auf 10^2 kommst Du also, indem Du 10^3=1000 durch 10 teilst und so wieder auf 100 kommst.
Ebenso ist 10^1=10, nämlich 10^2/10.
Demnach muß 10^0=1 sein, das ist nämlich 10^1/10=10/10=1
Der Logarithmus von 1 ist also 0, was übrigens für jede beliebige Basis gilt. Irgendwas hoch Null ist immer 1, weil Irgendwas hoch 1 immer Irgendwas ist und Irgendwas hoch Null Irgendwas hoch 1/Irgendwas, was Irgendwas/Irgendwas ergibt und damit 1 - es sein denn, Irgendwas ist Null, denn was 0/0 ergibt, darüber streiten sich die Geister.
So geht die Reihe weiter: 1 unter Null ist -1, also muß 10^(-1) 10^0/10=1/10 sein und 10^(-2)=10^(-1)/10=1/10 geteilt durch 10=1/100.
Allgemein gilt für negative Exponenten:
a^(-b)=1/a^b
Schwieriger wird es bei Exponenten, die keine ganzen Zahlen sind.
Daß 10^3=10*10*10 ist, kann man ja noch nachvollziehen, Du schreibst einfach 3 Zehnen hintereinander und setzt dazwischen ein Multiplikationszeichen. Was aber ist mit 10^(1/2)?
Auch das läßt sich mit ein wenig Überlegen herausbekommen.
10^2*10^3 z.B. ist (10*10)*(10*10*10), also, wenn Du die Klammern wegläßt:
10*10*10*10*10. Das sind 5 Zehnen hintereinander oder 10^5.
Offensichtlich ist also 10^2*10^3 dasselbe wie 10^(2+3).
Wenn Du also gleiche Basen miteinander multiplizieren möchtest, mußt Du nur ihre Exponenten addieren.
Demnach müßte 10^(1/2+1/2)=10^(1/2)*10^(1/2) sein und da 1/2+1/2=1, muß 10^1=10^(1/2)*10^(1/2) sein. 10^(1/2) ist also eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 10 ergibt und das ist nichts anderes als die Wurzel von 10.
a^(1/2) ist also ein anderer Ausdruck für Wurzel (a).
Auf diese Weise kann man alle möglichen gebrochenen Exponenten erklären.
Das Praktische daran ist nun, daß sich mit Hilfe von Exponenten, also mit Logarithmen, alle Rechenarten um eine reduzieren lassen.
Das mit der Multiplikation hatten wir bereits: a^b*a^c=a^(b+c).
Das gilt auch für die Division:
a^b/a^c=a^(b-c)
Hier wird also eine Division durchgeführt, indem man einfach nur Exponenten (Logarithmen) subtrahiert.
So kannst Du alle möglichen Wurzeln ziehen, denn die b-te Wurzel aus a ist nichts anderes als a^(1/b) und die b-te Wurzel aus a^c ist nichts anderes als a^(c/b)
Willst Du also die 5. Wurzel aus 17 ziehen, ermittelst Du den Logarithmus von 17, teilst ihn durch 5 und potenzierst die Basis des Logarithmus mit dem Ergebnis.
Also: log(17)=1,230448921
log(17)/5=0,2460897843
10^0,2460897843=1,762340348 und damit die 5. Wurzel von 17.
Früher mußte man solche Logarithmen in Tabellenwerken nachschlagen oder mit einem Rechenschieber ermitteln, heute geht das mit Rechnern viel bequemer.
So kannst Du natürlich auch die Logarithmen zu beliebigen Basen ermitteln, wenn Du irgendeinen Logarithmus auf Deinem Rechner hast wie log, den Logarithmus zur Basis 10 oder ln, den Logarithmus zur Basis e, der sogenannten Eulerschen Zahl. Inzwischen ist der ln verbreiteter als der log.
Möchtest Du also wissen, welcher Logarithmus zur Basis 3 zur Zahl 20 gehört, also 3 hoch was 20 ergibt, teilst Du einfach ln(20)/ln(3)
Oder log(20)/log(3) oder welcher Logarithmus gerade zur Hand ist. Das Ergebnis ist immer das gleiche: lg3(20)=ln(20)/ln(3)=2,726833028
3^2,726833028=20
Das ist ungemein praktisch, weil Du nun etwa Zerfallszeiten berechnen kannst oder Wachstumsraten, bei denen immer eine Gleichung der Art a^x=b nach x aufgelöst werden muß. Ohne Logarithmen kannst Du das vergessen. Mit Logarithmen wird es zum Kinderspiel:
x=ln(b)/ln(a)
13 hoch was ergibt 97?
Antwort: ln(97)/ln(13)=1,789548266
Das kann schon ein Taschenrechner für ein paar Euro ausspucken.
Versuch das mal ohne Logarithmen herauszubekommen.
Ebenso: ln(a^b)=b*ln(a)
ln(23,5^2,4)=2,4*ln(23,5)=7,576801011
Wenn Du also wissen möchtest, was 23,5^2,4 ergibt, potenzierst Du die Basis des ln, also e, mit 7,57... und erhältst als Ergebnis 1952,373344.
Da ein Taschenrechner, der ln kann, auch e draufhat, braucht wohl nicht erwähnt zu werden.
Logarithmen, die in Zeiten, als e noch keine Taschenrechner gab, komplizierte Berechnungen vereinfachten, werden heute mehr benutzt, um Exponentialgleichungen aufzulösen, um also Unbekannte, die als Potenzen erscheinen, berechnen zu können. Außerdem lassen sich mit Hilfe von Funktionen, die auf der Zahl e und ihrer Potenzen basieren, erstaunlich gut Prozesse in der Natur wie Zerfalls- oder Wachstumsprozesse simulieren, die Dir im Studium sicher häufig begegnen.
Du solltest Dir also die Potenzgesetze, die so furchtbar kompliziert nicht sind, unbedingt aneignen, damit sie sicher sitzen und Du sie sozusagen im Schlaf beherrschst. Du brauchst so etwas ständig.
Alles Gute fürs Studium,
Willy
Einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis zu berechnen ist total simpel.
log_7(x) = ln(x) / ln(7)
Braucht du um die Hochzahl auszurechnen, wenn die eine Variable ist.
Der Logarithmus ist schlicht gesagt die Gegenfunktion der Hoch funktion als 5^3 = 125 --> log(125,5) Logarithmus von 125 zur Basis 5.
Eingeben auf dem Taschenrechner kannst du es wie ich in der Aufgabe.
Ein historischer Blick:
Im Mittelalter und bis zur Zeit Galileis waren Multiplikationen und Divisionen für damalige "Rechenmeister" und Gelehrte sehr aufwendig und zeitraubend. Um sich diese mühsamen Rechnungen zu erleichtern, kamen einige kluge Leute (Napier, Bürgi, Briggs) auf die Idee, dass man diese "schwierigen" Rechenoperationen durch die einfacheren (Addition und Subtraktion) ersetzen konnte, wenn man nur eine Umrechnungstabelle zwischen den Zahlen und ihren "Logarithmen" hätte. In einem solchen System macht man sich zunutze, dass man z.B. jede positive Zahl als eine Potenz einer festgelegten Basiszahl (zum Beispiel zehn) schreiben kann. So ist z.B. 1 = 10^0 , 10 = 10^1 , 100 = 10^2 , 1000 = 10^3 etc. . Um derartige Zahlen (mit führender Eins und einer Anzahl Nullen) zu multiplizieren, kann man stattdessen einfach ihre Logarithmen (die in diesem einfachen Fall einfach die Anzahl der Nullen darstellen) addieren. Beispiel: 1000 * 100000 = 100000000 (drei Nullen + 5 Nullen = 8 Nullen). Die Berechnung von Logarithmen für andere Zahlen, z.B. 2, 7, 41, 937 etc. war allerdings nochmals eine sehr mühsame Arbeit. Diese Arbeit musste aber im Prinzip nur einmal getan werden. Das Ergebnis, umfangreiche Logarithmentafeln, ganze Bücher vollgedruckt mit Zahlenwerten, dienten aber anschließend über Jahrhunderte weg ganzen Scharen von Wissenschaftlern als nützliches Rechenhilfsmittel.
Ok danke, also gibt es ihn nur in Verbindung mit Exponentialfunktionen?