Warum hat eine Integralfunktion immer eine Nullstelle?
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Naja, wenn man x = a einsetzt, erhält man...
Bei einer Integralfunktion ist die untere Integralgrenze (hier: a) immer eine Nullstelle der Integralfunktion. Denn wenn obere und untere Integralgrenze übereinstimmen, ist das Integral gleich 0.
Allgemein stimmt das nicht.
Es hängt von den Vorgaben der Funktion ab das Integral von a bis x von f(x) hat zB keine Nullstelle wenn f(x) monoton steigend und der Definitionsbereich von f(x) eine Teilmenge von (a, unendlich) ist.
Gut das Beispiel war schlecht aber man kann jederzeit die Vorgabe x>a treffen womit es nicht allgemein gültig ist sondern nur wenn x=a werden kann.
Bei der o.a. Integralfunktion, und nur für die gilt die Aussage allgemein, kann man das eben nicht. Da gehört a immer zum Definitionsbereicht und damit ist die Aussage allgemein gültig. Du redest über ein anderes Problem, das hier gar nicht gefragt ist.
Ich sage nur dass das eben nicht ohne Einschränkungen gültig ist. Wenn x aus welchen Gründen auch immer den Wert a nicht annehmen kann stimmts nicht und das gilt es zu beachten.
Sich einfach einzuprägen ein Integral hat immer eine Nullstelle ist falsch. Es kommt auf die gesamte Aufgabenstellung an und nicht nur auf das Integral alleine.
Besonders bei Physikalischen Problemen gibt es eben oft solche Einschränkungen dass x > a sein muss obwohl die Funktion f(x) für alle rellen Zahlen definiert ist.
Die Aussage die der Fragesteller gepostet hat IST ohne Einschränkung gültig. Ich weiß nicht was es da zu diskutieren gibt. Da steht keine andere Aufgabenstellung. Ich verstehe einfach nicht warum du weiter auf diesem Unsinn beharrst.
Ich glaube wir reden anneinander vorbei.
Ich stimme dir zu die ursprüngliche Aussage stimmt so nicht, denn mathematisch betrachtet hat das Integral immer eine Nullstelle.
Ich wollte eher darauf aufmerksam machen, dass das Integral womöglich in einem Realen Problem diese Nullstelle nicht erreichen kann.
Nehmen wir zB die Aufgabensstellung f(x)=x²
Mit den Beschränkungen a>0 x > a. Mit diesen Beschränkungen kann das Integral seine Nullstelle nicht erreichen. Die Funktion Fa(x) hat eine Nullstelle ja aber diese kann nicht erreicht werden.
Das würde zB auch bei der Berechnung der Potentiellen Energie eines Balls auftreten wenn man das Nullpotential unter den Erdboden legt.
Man darf sich hald das nicht einfach so einprägen, dass man bei Fa(x) immer eine gültige Nullstelle hat sonst könnte man bei dem Beispiel mit dem Ball vorher auch sagen er muss das Nullpotential erreichen was aber falsch ist. Es kommt daher auf die Rahmenbedingungen an.
Aber ich verstehe deinen Einwand und rein Mathematisch betrachtet hat Fa(x) eine Nullstelle die aber natürlich nicht immer erreichbar sein muss oder physikalisch sinnvoll sein muss und das sollte man meines Erachtens im Hinterkopf behalten und darauf wollte ich hinweisen.
Dein Fehler ist das du den Definitionsbereich willkürlich einschänkst obwohl das in der Aufgabenstellung resp. in dem o.a. Merksatz in keinster weise relevant ist. Damit verwirrst du nur den Fragesteller, indem du im versuchst zu erklären, irgend etwas wäre an der Aussage in seinem Buch falsch, weil man durch eine gar nicht gegebene Einschränkung eine falsche Aussage erreichen kann. Das ist auch der einzige Grund warum ich da so hinterher bin.
Ja da geb ich dir auch vollkommen recht, das habe ich auch gerade geschrieben.
Aber solche Aussagen sind immer mit vorsicht zu genießen, man darf eben nicht in Versuchung kommen sie in jedem beliebigen Beispiel blind zu verwenden.
Der Definitionsbereich kann eingeschränkt sein und dann kanns sein dass das Integral seine Nullstelle nicht erreichen kann.
Ich bin da so sehr dahinter, weil ich Nachhilfe in Elektrotechnik gebe und in der HTL steht in jedem Buch die Kirchhoffsche Maschenregel. Ein großes Problem vieler Schüler bei allgemeinen Problemen ist dann sie wenden die Maschenregel an wenn es zeitlich veränderliche Magnetfelder gibt und dann rechnet man eben einen Blödsinn weil das eine wesentliche Einschränkung dieser Maschenregel ist.
ok, dann belassen wir es dabei. Den Fragesteller haben wir wahrscheinlich sowieso schon abgehängt :-).
Das vermutlich schon und ich sehe es auch vollkommen ein dass meine ursprüngliche Antwort mit dem gestellten Problem sehr wenig zu tun hat und daher die Gefahr besteht dass sie den Fragesteller verwirrt daher hoffe ich auch dass er diese Kommentare liest ;)
Ich habs hald einfach schon sehr oft gesehen, dass man sich irgendwelche Merksätze blind einprägt und vergisst dass jede Aussage Grenzen hat die man sich ebenfalls merken sollte. Ich hatte mal einen Schüler der darauf bestanden hat, dass die Matrizenmultiplikation kommutativ ist weil er hat in Mathematik in der Unterstufe gelernt, dass die Multiplikation kommutativ ist, hat relativ lang gedauert ihm von Gegenteil zu überzeugen.
Btw schon mal Frohes neues Jahr von meiner Seite :-)
Wenn du das Integral als Fläche über der x-Achse vorstellst, ist sie natürlich 0, wenn das x-Intervall, über die integriert wird, ein einzelner Punkt ist (also: x=a).
Wenn du für x a einsetzt, dann kommt immer Null raus (F(a)-F(a))
Aber sicher hat die Integralfunktion dann bei a eine Nullstelle. Die Grenze eines bestimmten Integrals gehört zum Definitionsbereich, sonst spricht man von einem uneigentlichen Integral.