Warum hat eine ganzrationale Funktion des 4 Grades höchstens zwei Wendestellen?
5 Antworten
Fang mal klein an. Wieso hat eine ganzrationale Fuktion 2. Grades maximal einen Extrempunkt?
Nimm dir die Grundgleichung:
f(x) = ax² + bx + c
Extrempunkte berechnest du mithilfe der 1. Ableitung. Die Nullstellen der 1. Ableitung f' sind die Extremstellen der Ausgangsfunktion f. Das heißt auch: Die Anzahl der Nullstellen von f' gibt an, wie viele die Ausgangsfunktion maximal haben kann.
f'(x) = 2ax + b
Das ist nun nur noch eine lineare Gleichung bzw. Funktion. Ergo bekommst du auch maximal eine Nullstelle. D.h. wiederum, dass eine ganzrationale Funktion 2. Grades maximal einen Extrempunkt haben kann.
Jetzt bist du dran und kannst sehr ähnlich herausfinden, wieso eine ganzrationale Funktion 4. Grades maximal 2 Wendepunkte haben kann. Denke dabei daran, dass Wendestellen mit der 2. Ableitung bestimmt werden.
Korrekt. Die 2. Ableitung ist eine quadratische Gleichung, sodass du maximal zwei Lösungen für x erhalten würdest, also auch maximal zwei Wendestellen für die Ausgangsfunktion f.
Hallo,
weil die Wendestellen da liegen, wo die zweite Ableitung eine Nullstelle hat.
Da pro Ableitung ein Grad flöten geht, bleibt bei einer Funktion vierten Grades für die zweite Ableitung nur noch Grad 2 übrig.
Eine Funktion zweiten Grades kann aber höchstens zwei Nullstellen haben.
Herzliche Grüße,
Willy
Eine ganzrationale Funktion 2. Grades hat ja aber keine Wendestellen oder? Und eine des 3. Grades 1 Wendestelle.
Kann die Funktion des 4. Grades auch nur eine Wendestelle haben?
Wird nicht funktionieren. Dann dürfte sie nur zwei Extremstellen haben.
Dann würde sie aber vom Himmel in den Keller gehen oder aus dem Keller in den Himmel. Das geht bei einer Funktion mit einem geraden Grad aber nicht.
Das ist eine interessante Frage. Die zweite Ableitung dürfte nur eine Nullstelle haben. Das wäre dann eine doppelte, damit wäre dort kein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung und somit kein Extremum der ersten und somit keine Wendestelle.
Es gibt maximal 3 Extremstellen, zwischen denen Wendestellen liegen können.
Weil die zweite Ableitung eine Parabel ist, und diese höchstens 2 Nullstellen haben kann.
Du kannst dir ein Bild auf google zu der Funktion ansehen, oder die Anzahl der Wendestellen berechnen :)
Also f(x)=x^4
hat maximal 3 Extremstellen da:
f'(x)=4x^3 gilt
und maximal 2 Wendestellen da:
f''(x)=12x^2 gilt.