Warum gibt es bei einer doppelten Nullstelle der 2.Ableitung keinen Wendepunkt?
3 Antworten
Doppelte Nullstellen sind Berührpunkte, d.h. an dieser Stelle gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung der Kurve. Bei positiven Werten von f'' hat man eine Linkskurve, bei negativen eine Rechtskurve.
Damit man einen Wendepunkt hat, muß sich entweder eine Linkskurve in eine Rechtskurve wandeln oder umgekehrt. Man benötigt also einen Vorzeichenwechsel von f''. Und den hat man bei Berührpunkten nicht.
Ähnliches bei Extrempunkte. Betrachten wir die Funktion (x-1)^4+(x-1)^3. Die erste Ableitung hat an der Stelle x = 1 eine doppelte Nullstelle und deswegen gibt es dort für f(x) keinen Extremwert. Weil der nötige Vorzeichenwechsel nicht da ist.
Betrachtet man doppelte Nullstellen von f(x), dann geben diese den Ort eines Extremwertes an. Einfachstes Beispiel hierfür ist die x^2 Funktion. Aber auch (x-1)^3+(x-1)^2 hat eine doppelte Nullstelle und dort einen Extremwert.
Weil Du genauso wenig ein Extremum bei einer doppelten Nullstelle der 1. Ableitung hast.
Ich meinte das eigentlich so:
Wenn f ein Funkltion ist, dann hast du einen Wendepunkt bei x0 wenn f''(x0)=0 und f'''(x0) <>0.
Ein Extremum hast Du wenn, f'(x0) = 0 und f''(x0) <> 0.
Doppelte Nullstelle einer Funktion/Ableitung bedeutet, dass deren Ableitung an der gleichen Stelle ebenfalls Null ist, die darauffolgende Ableitung aber nicht mehr.
Damit ein Wendepunkt existiert, muss f''(x)=0 sein und zugleich f'''(x)<>0.
Ist f'''(x)=0 leitet man solange weiter ab bis eine Ableitung für diese Stelle x ungleich Null ist. Ist diese Ableitung die 5., 7., 9. ... dann hast Du einen Wendepunkt, ist es die 4., 6., 8., ... Ableitung, dann nicht.
Bei doppelter Nullstelle in der 2. Ableitung ist demnach die 4. Ableitung f''''(x)<>0, also gibt es keinen Wendepunkt.
Oh danke :) das hat mir wirklich geholfen !!kannst du Mir vielleicht gleich noch erklären was die doppelte nullstelle für eine bedeutung bei extrempunkten hat ? Das wäre richtig toll !!
Ist im Grunde ähnlich. Hat die 1. Ableitung eine doppelte Nullstelle bei x0, bedeutet das, dass f''(x0)=0 und f'''(x0)<>0 ist, und damit hast Du die Bedingungen für einen Wendepunkt (genauer gesagt, hast Du wegen f'(x0)=0 an dieser Stelle einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt))
@Rhenane:
Du schreibst: "Damit ein Wendepunkt existiert, muss f''(x)=0 sein und zugleich f'''(x)<>0."
Das stimmt so nicht ! Gegenbeispiel: f(x)=x^5 . An der Stelle x=0 ist ein Wendepunkt; es ist f''(0)=0 aber auch f'''(x)=0 .
Ein extremum ist also nur wenn die Funktion eine doppelte nullstelle hat ? Ich versteh das trotzdem nicht :/