Warum beim Integrieren 1/(z+1)?
Wir haben ja beim Ableiten von f(x)= x^z folgende Form:
f’(x) =z*x^(z-1).
Warum gilt aber beim Integrieren:
F(x) =1/(z+1)* x^(z+1)
und nicht F(x)= 1/z * x^(z+1)
Ich weiß, dass wenn man die Stammfunktion ableitet, die Normalfunktion rauskommt. Aber warum macht man im Nenner z+1 und nicht einfach nur z?
Was ist z? x + iy?
Was meinst du?
5 Antworten
f(x) = x^z
=> f'(x) = z x^(z–1)
Soweit korrekt. Du multiplizierst also beim Ableiten den Wert des Exponenten und verringerst danach den Exponenten um Eins.
Da Integrieren ja die Umkehrung ist, musst du genau umgekehrt vorgehen. Zuerst erhöhst du den Exponenten um Eins und dividierst dann den Wert des Exponenten.
f(x) = x^z
=> F(x) = 1/(z+1) x^(z+1)
Vielleicht kannst du es in dieser Darstellung besser sehen:
Ableiten:
1. Exponent multiplizieren
2. Exponent minus Eins
Integrieren
1. Exponent plus Eins
2. Exponent dividieren
Es sind also nicht nur die Operatoren Plus und Minus bzw. Multiplizieren und Dividieren gegensätzlich, sondern auch die Reihenfolge ist anders (Ableiten: Erst als zweites den Exponenten verringern; Integrieren: Als erstes den Exponenten erhöhen).
Du bist der Einzige der mich wirklich verstanden hat. Vielen Dank <3.
Der Begriff "Aufleiten" bereitet mir leid (aber das nur nebenbei).
Du sollst ja eine Stammfunktion bestimmen, das heißt, eine Funktion, die abgeleitet die Ausgagnsfunktion ergibt. Leite mal die Musterlösung und deine Version ab...
Warum gilt aber beim Integrieren:
F(x) =1/(z+1)* x^(z+1)
und nicht F(x)= 1/z * x^(z+1)
Wenn du das schon weißt, warum fragst du dann?
Ansosnsten könntest du eben durch Ableiten herausfinden, warum das gilt.
Das kann man leicht nachrechnen. Wenn du die Stanmfunktion von f bildest und ableitest, muss wieder f rauskommen.
F'(x) = (z + 1)/(z + 1) * x^(z + 1 - 1) = x^z = f(x).
Bei der anderen Funktion würde das nicht klappen.
Bei der Ableitung ziehst du zuerst den Exponenten nach vorne ind verringerst ihn dann - nicht umgekehrt. Da liegt dein Denkfehler
Aber warum macht man dann beim Ableiten nicht (z-1)*x^(z-1)? Weil Integration ist ja umgekehrtes Ableiten.
Angenommen du hast eine Funktion abgeleitet und willst das jetzt umkehren.
z + 1 im Exponenten brauchst, um die - 1 beim Ableiten aufzuheben.
1/(z + 1) brauchst du, weil du beim Ableiten nicht durch die Zahl teilst, welche am Ende im Exponenten steht, sondern die, welche vorher da stand, also eins größer ist. Deshalb nicht z (der Exp. nach Ableiten ) sondern z+1 (der Exp. vor dem Ableiten).
Das ist nur zur Veranschaulichung, jedoch keine formal komplett korrekte Erklärung.
Weil Integration nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung die Umkehroperation des Differenzierens ist…
Ja das ist mir klar, aber beim Ableiten macht man ja nicht
(z-1)* x^(z-1), sondern z*x^(z-1). Also wird der Exponent noch bevor man ihn mit 1 subtrahiert mit x multipliziert. Deshalb fragte ich mich warum man beim Ableiten nicht (umgekehrt als beim Integrieren) erst einmal (z-1) macht und dann die Form schlussendlich so aussieht:
(z-1)*x^(z-1)
Wenn Du das für z = 1 so machen würdest, würde die Ableitung von f(x) = x = x^1 folglicherweise f‘(x) = (1-1)*x^(1-1) = 0*x^0 = 0 sein…
Wenn z keine Komplexe Zahl ist und keine Funktion von x, dann ist z eine Konstante, wie Pi oder e oder 2.
Hättest du mal richtig gelesen, dann würdest du wissen, dass ich das schon weiß…