Hauptraum, Hauptraumzerlegung, Fitting-Lemma?

Die Aussage bzw. die Konsequenz/Beweis des folgenden Ausdrucks ist mir nicht klar:

Für $\phi\in End\left(V\right),\ \lambda\in K\ Eigenwert$ und $\mu=\ \mu\left(p_{\phi},\ \lambda\right),\$ gilt:

$\phi\left|_{H_{\phi}\left(\lambda\right)\ }=\lambda\cdot id\ +\psi\right|$ (das rechte "|" ist automatisch erschienen, das linke soll die Einschänkung der Abbildung symbolisieren) mit

$\psi\ nilpotent$ . Ich verstehe an diesem Ausdruck die Gleichheit und die Herletiung nicht. Im Skript steht, dass es direkt aus dem Fitting-Lemma folge, da sehe ich nur den Zusammenhang nicht.

In der Vorlesung wurde auf das Fiting-Lemma verwiesen, nur da sehe ich den Zusammenhang nicht.

Über Antworten freue ich mich!

PS: Die Frage habe ich schon mal gestellt, sie wurde aber nicht beantwortet.

Answer 1

[eterneladam]

Doch, das wurde von Delta45 beantwortet. Das Fitting-Lemma wird auf Psi = Phi - lambda * Id angewendet, was ein Automorphismus oder nilpotent sein muss. Dass es kein Automorphismus sein kann, dass kannst du selber zeigen.

Comments

[person498]

Ach so! Das hatte ich irgendwie nicht gesehen.

Aber nun weiß ich nur, dass psi=phi - lambda*id nilpotent sein muss, aber wie komme ich dann auf die einschränkung von phi auf H_phi(lambda)?

[eterneladam]

@person498

Die Aussage gilt nur für die Einschränkung von phi auf H_phi(lambda). Psi lebt nur auf diesem Hauptraum.

[person498]

@eterneladam

Also:

Es gilt: psi=phi - lambda * id ist nilpotent, daraus folgt phi=lambda * id + psi, psi nilpotent klar.

Aber gilt dies nur für phi eingeschränkt auf den Hauptraum, es ist doch eine allgemeine Abbildung? Psi ist doch nur der Eigenraum dieses Operators, warum lebt psi dann nur auf dem Hauptraum?