Wann ist eine Potenzfunktion ungerade oder gerade?
3 Antworten
Potenzfunktionen mit geradem Grad sind gerade, solche mit ungeradem Grad sind ungerade.
Eine Potenzfunktion hat die allgemeine Form
f(x) = a * x^n, wobei n ein Element von Z
Was Du beschreibst ist ein Polynom! Eine Potenzfunktion hat jedoch keine Beimischungen der Art
f(x) = a * x^n + x
Daher mag es wohl sein, dass was Du sagst, für Polynome gilt. Aber es gilt jedenfalls meine Aussage für Potenzfunktionen.
Eine Potenzfunktion ist gerade, wenn alle Exponenten gerade sind (inkl. evtl. Absolutglied, da dort im Grunde * x^0 hinter steht), z. B.:
f(x)=7x^4-2x²+6 (* x^0)
Eine ungerade Potenzfunktion hat nur ungerade Exponenten und kein Absolutglied, also z. B.: f(x)=2x^5-x³-7,35x
Ob eine Funktion (egal ob Potenzfunktion oder nicht) gerade,ungerade oder keins von beidem ist prüft man, indem man f(-x) ermittelt, also das x durch -x ersetzt und ausrechnet. Kommt wieder f(x) raus, dann ist die Funktion gerade (=achsensymmetrisch zur y-Achse), kommt -f(x) raus, dann ist die Funktion ungerade (=punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0) ); kommt keins von beidem raus, dann ist weder gerade noch ungerade.
Beispiele:
f(x)=7x^4-2x²+6
auf Symmetrie prüfen: f(-x)=7(-x)^4-2(-x)²+6=7x^4-2x²+6 = f(x) => gerade
f(x)=2x^5-x³-7,35x
f(-x)=2(-x)^5-(-x)³-7,35(-x)=-2x^5+x³+7,35x=-(2x^5-x³-7,35x) = -f(x)
=> ungerade
Alles richtig bis auf folgende kleine Anmerkung:
Bei geraden Funktionen darf das freie Glied (die Zahl ohne x) beliebig sein, sie muss nicht zwangsläufig gerade sein. Das heißt auch
f(x) = 7x^4-2x²+5 ist eine gerade Funktion.
Was hier steht sind aber Polynome, keine Potenzfunktionen.
Potenzfunktionen haben die allgemeine Form f(x) = a * x^n, n € Z
Ein Polynom hingegen ist eine Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten.
Während das alles gut und richtig ist für Polynome, gilt es in vereinfachter Form für Potenzfunktionen.
richtig, danke für den Einwand; hätte ich evtl. auch erwähnen sollen; meist liest man hier von Potenzfunktionen, obwohl dann eigentlich ganzrationale Funktionen gemeint sind.
Per Definition ist eine Funktion gerade wenn für alle x aus dem Definitionsbereich der Funktion gilt: f(x) = f(-x)
Gerade Funktionen erkennt man graphisch daran, dass sie symmetrisch bezüglich der y Achse sind.
Per Definition ist eine Funktion ungerade wenn für alle x aus dem Definitionsbereich der Funktion gilt: f(-x) = -f(x)
Ungerade Funktionen erkennt man graphisch daran, dass sie symmetrisch bezüglich dem Ursprung ist.
Die obigen Definitionen gelten für alle Funktionen nicht nur für Potenzfunktionen. Die Sinus-Funktion ist zB ein Beispiel für eine ungerade Funktion während die Kosinus-Funktion ein Beispiel für eine gerade Funktion ist
Ansonsten liegt Rhenane mit seiner Antwort richtig.
Falsch, denn der Grad gibt ja nur den Exponenten der höchsten Potenz an und nicht was sonst noch kommt...
Gegenbeispiel:
f(x) = x³+3x²+x+5 hat den Grad 3 und ist aber weder gerade noch ungerade