Wahrscheinlichkeitsdichte Mathe?
a)Weisen Sie nach, dass f(x) = 0,5 über [0;2] eine Wahrscheinlichkeitsdichte zu einer Zufallsvariaben X ist. Kann mir einer erklären, was eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist und was sie mir bringt? Das habe ich verstanden.
b) Berechnen Sie P(X=1) und P(1 < X < 2). Wie berechnet man mit hier die Wahrscheinlichkeit von P(X=1)?
c)Begründen Sie, dass gilt mü = 1 und Sigma = Wurzel aus 1/3. -> Muss ich das einfach rechnerisch nachweisen?
d) Durch welche Wahrscheinlichkeitsdichte lassen sich Zufallsgrößen beschreiben, die über dem Intervall I gleichmäßig verteilt sind, wenn gilt I = [0; 5]; I = [0; 10]; I = [-5; 5]; I = [0; 0,2]? Verallgemeinern Sie. Hier weiß ich gar nicht
3 Antworten
in Ergänzung zu Jangler13:
a) was es bringt: Die Fläche unter der Kurve zwischen 2 x-Werten, also das bestimmte Integral zwischen diesen x-Werten, ist die Ws, zufällig einen Wert zwischen diesen 2 x-Werten zu ziehen
b) P(X=1) = Integral über 0,5 von 1 bis 1 = 0,5*1 - 0,5*1 = 0, entsprechend a) ist die Ws also 0. Bei einer stetigen Verteilung ist die Ws für jeden einzelnen Wert immer 0. Bei einer diskreten Verteilung, z.B. wenn die x-Werte nur ganze Zahlen annehmen, ist das natürlich anders.
gleichmäßig heißt, jedes gleich breite Intervall hat die gleiche Ws. Kann also nur die gerade Linie sein. Damit die Gesamtfläche von links 0 bis rechts 5, das Integral von 0 bis 5, 1 ist, muss sie auf der Höhe 0,2 liegen. Die Dichte ist damit
0 für -unendlich <x < 0,
0,2 für 0 ≤ x ≤ 5
0 für 5 < x < +unendlich
a) Für eine Dichtefunktion gilt, dass die Funktionswerte nicht negativ ist, dass die Funktion Integrierbar ist, und dass es Integral der Funktion gleich 1 ist
b) für stetige Verteilungen gilt: P(a<=X<=b) = das Integral der Dichtefunktion von a bis b
c)mü ist der Erwartungswert, der durch das Integral von x*f(x) bestimmt wird
Sigma ist die Wurzel der Varianz, schau Mal nach wie ihr die Varianz definiert habt
d) da die Zufallsgröße gleichmäßig verteilt ist, muss die Dichte konstant sein, außerdem muss wie gesagt das Integral gleich 1 sein Versuche also eine auf dem Intervall konstante Funktion zu finden, dessen Integral 1 ist
bei b) habe ich nicht ganz verstanden was die Grenzen bei P(X=1) ist.. liegt die bei 0 bis 1 oder wie macht man das?
Deine Frage hat @Jangler13 bereits beantwortet. Deine Nachfrage zu b):
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable X einen bestimmten Wert a annimmt, ist Null.
P(X = a) = 0
Grund dafür ist, dass die Fläche über einem einzigen Punkt gleich Null ist.
Danke, dass war nochmal hilfreich. Bei d) hänge ich noch fest. Haben sie das vielleicht auch einen Tipp?