Analysis Aufgabe Mathe Abitur?
Hallo,
Ich habe folgende Frage zu einer Aufgabe aus einem Mathe Abitur.
Funktion fa(x)= x*(x-a)*(x-2a)
Berechnen Sie die Werte von a, sodass die Fläche zwischen dem zugehörigen Graphen von f und der x-Achse im Intervall [0;2] den Inhalt 1 hat.
Warum kann ich diese Aufgabe nicht einfach mit einem gesolveten Intervall von 0 bis a = 0,5 (Symmetrie des Graphen) berechnen, sondern muss es anscheinend anders tun?
Vielen Dank!
Keine Vorgabe für a?
Nein
3 Antworten
Hallo,
Du mußt letztlich von drei Fällen ausgehen:
Wenn a kleiner gleich 0 oder größer gleich 2 ist, kannst Du einfach durchintergieren, weil dann zwischen 0 und 2 keine weitere Nullstelle mehr liegt, denn die Nullstellen liegen ja auf jeden Fall bei x=0, x=a oder x=2a.
Ausmultipliziert lautet die Funktion fa(x)=x³-3ax²+2a²x und
F(x)=(1/4)x^4-ax^3+a^2x^2.
Wenn Du (unter der Voraussetzung, daß a außerhalb [0;2] liegt, durchintegrierst von 0 bis 2, bekommst Du F(2)-F(0)=1. Da F(0)=0 also F(2)=1
F(2)=4-8a+4a²=1
4a²-8a+3=0
a²-2a+3/4=0.
Hier bekommst Du als Lösung a=1±1/2, also Lösungen, die für den Fall, daß a nicht zwischen 0 und 2 liegt, nicht passen.
a muß also entweder zwischen 0 und 1 liegen (dann gibt es zwei Nullstellen zwischen 0 und 2) oder zwischen 1 und 2 (dann gibt es nur eine Nullstelle, weil 2a schon größer als 2 wäre.
Betrachten wir zunächst diesen Fall.
angenommen, a sei größer gleich 1 und kleiner als 2.
Dann muß zunächst von 0 bis a integriert werden, was eine positive Fläche ergibt, denn ab x=0 liegt die Funktion zunächst oberhalb der x-Achse. Hinter der Nullstelle bekommen wir eine negative Fläche, die wir durch Vertauschen der Grenzen positiv machen.
Es muß also gelten:
(1/4)x^4-ax^3+a^2x^2 (von 0 bis a)+(1/4)x^4-ax^3+a^2x^2 (von 2 bis a) gleich 1.
Da a zweimal die obere Grenze ist und F(0)=0, rechnen wir 2*F(a)-F(2)=1.
(1/2)a^4-2a^4+2a^4-4+8a-4a^2=1
(1/2)a^4-4a^2+8a-4=1
a^4-8a^2+16a-8=2
a^4-8a^2+16a-10=0.
Da läßt Du den Taschenrechner ran und bekommst als einzige Lösung zwischen 1 und 2 a=1,265279955.
Für den Fall, daß a zwischen 0 und 1 liegt, mußt Du von 0 bis a (positiv), von a bis 2a (negativ) und von 2a bis 2 (positiv) integrieren, so daß Du dann beim mittleren Integral die Grenzen vertauschen mußt, also von 2a bis a integrierst.
Du rechnest daher F(a)-F(0)+F(a)-F(2a)+F(2)-F(2a)=1, was Du zu
2*F(a)-2*(F2a)+F(2)=1 zusammenfassen kannst bzw. zu F(a)-F(2a)+(1/2)F(2)=1/2.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Lösung für den Fall, daß es zwei Nullstellen zwischen 0 und 2 gibt, also a<1, liegt bei a=0,5084233673.
Praktischerweise ergibt F(2a) Null, was die Rechnung erheblich einfacher macht.
fa(x)= x*(x-a)*(x-2a) hat die Nullstellen : 0 , + a und 2a
Außerdem ist die Fkt im Intervall nicht symmetrisch zu der Nullstelle darin , denn :
.
Jetzt hat man das Problem : wenn a = 1.5 , liegt die Nullstelle in [0;2] , bei a = 3 nicht .
Bei a = 0.1 liegen sogar beide Nullstellen in [0;2].
.
Man sollte also von 0 bis a und von a bis 2a und von 2a bis 2 einzeln die FE bestimmen.
.
a²/4
+
a²/4
+
4(a-1)²
.
sind bei mir die 3 Flächengrößen
Ach nein. Im ersten Fall (a=1/2) gibt es noch eine Nullstelle bei x=1.
a=1/2 kann daher keine Lösung sein.
a=3/2 ist aber auch keine Lösung, da dies nur für die orientierte Fläche gelten würde.
Stammfunktion bilden, a läuft einfach mit.
Dann mit der Stammfunktion die Fläche a ausrechnen, es kommt ein Term mit a raus. Diesen Term mit 1 gleichsetzen und dann nach a Auflösen, dann hast Du den Wert von a.
Aber Vorsicht, das Intervall noch nach Nullstellen ( auch in Abhängigkeit von a) aufteilen!
Zur Kontrolle: a=1/2 oder a=3/2. Lustigerweise kommst Du auf diese Werte aber auch, wenn Du einfach durchintegrierst. Grundsätzlich ist der Hinweis auf die Nullstellen aber dringend geboten.
wenn ich von 0 bis 2 integriere , verschwinden die beiden Summanden +a²/4 und -a²/4
und ich komme dann für a auf diese Werte
Ich habe einen Fehler gemacht. Die Nullstellen liegen bei 0, a und 2a.
Ist a>1, ist es die einzige Nullstelle zwischen 0 und 2. Die erste Teilfläche liegt dann über der x-Achse, die zweite darunter. Beim Berechnen der Fläche muß ich bei der zweiten Teilfläche die Grenzen vertauschen, damit ich auch dort eine positive Fläche erhalte. In diesem Fall ist a=1,265279955.
Letztlich gibt es zwei Lösungen für a, nämlich a=1/2 und a=3/2.
Es ist also in beiden Fällen eine Nullstelle zwischen 0 und 2.