Wenn Du die 4-Felder-Tafel hast, dann siehst Du, dass 85 der 100 Kinder, also 85% gerne Ball spielen. Wenn Du jetzt auf die Mädchen bedingst, siehst Du dass 50 der 60 Mädchen gerne Ball spielen, also 50/60=83,33%. Dies ist dann die bedingte Ws, eben Ws(Ball) unter Bedingung Mädchen. Du betrachtest praktisch die Teilgruppe Mädchen als 100%.

Ebenso kannst Du das Geschschlecht auf die Ballspieler bedingen, von 85 Ballspielern sind 35 Jungen. also 35/80=43,75%. Das ist die Ws(Junge) unter Bedingung gerne Ballspieler

Lies mal genau. In c) steht zusätzlich, d.h. es kann ja nur zusätzlich zu a) sein. Nach a) sind 420 der 1500 Schüler weiblich und unter 17 (also 16, da unter 16 nicht wahlberechtigt), in der 300er Stichprobe also 420/1500*300=84. Von denen 60% sind auf dem Gymnasium, d.h. 84*60/100=50,4, also gerundet 50 16jährige Gymnasiastinnen gehören in die repräsentative Stichprobe.

Da alle Rand-Ws gegeben sind, braucht man ja nur noch die eine bedingte Ws P(V|Z), sprich P von V gegeben Z, (0,4) mit P(Z) (0,1) zu multiplizieren um die Felder-Ws P(V∩Z) zu ermitteln und erhält dann die 3 anderen Felder-Ws durch sukzessives Subtrahieren. Das Problem gleich mit einem Baum anzusetzen, verwirrt mich mehr.

Bis zum 1. Quartil (untendrunter bis einschließlich) liegen mindestens 25% der Werte, obendrüber (und einschließlich) 75% der Werte. Bei n=14 sind das eigentlich die 3,5 kleinsten und die 10,5 größten Werte, also da mindestens 25% und mindestens 75%, die 4 kleinsten und die 11 größten Werte, also 11. Bis zum 2. Quartil (der Median) liegen die mindestens 50% kleinsten Werte, also 7 Werte, oberhalb auch, Die 7 kleinsten Werte sind die von 2 bis 19, die 7 größten die von 22 bis 71. Damit kann man als Median jede Zahl zwischen 19 und 22 nehmen, meist nimmt man die Mitte, also 20,5. Der Unterschied zum 1. Quartil ist, dass die 7 kleinsten und die 7 größten Werte sich nicht überlappen. Damit gilt die Aussage mindestens 50% von unten für alle Zahlen ≥ 19, und die Aussage mindestens 50% von oben für alle Zahlen ≤ 22, die gemeinsame Aussage also für alle Zahlen zwischen 19 und 22 einschließlich. Beim 1. Quartil überlappen sich die 4 kleinsten und die 11 größten bei 11, also ist dort nur die 11 die einzig mögliche Antwort. (Dass die 11 doppelt vorkommt, spielt hier keine Rolle; wenn die 3.kleinste Zahl 8, 9 oder 10 wäre, wäre genauso 11 das 1 Quartil.) Entsprechend liegt das 3. Quartil da, wo sich die 4.größte und die 11.kleinste Zahl treffen, bei 27, denn wieder müssen mindestens 75% aller Zahlen, also 10,5 bzw dann 11, unterhalb bis einschließlich dem 3. Quartil liegen, und 25% also 3,5 bzw. dann 4 oberhalb bis einschließlich.

Schau Dir noch mal meinen letzten Kommentar zu Deiner vorigen Frage an. Wenn Du den nicht verstehst, kommst Du hier auch nicht weiter.

Wenn Du behauptest a_n=a_n-1+n-2, dann folgt daraus eine einziges n, nämlich n=3. Ziehe a_n von beiden Seiten ab, Du erhältst 0=0-1+n-2, also 0=n-3, also n=3. Nix mehr mit Folge.

Du erhältst vielmehr das n-te Glied a_n, in dem Du das vorherige, nämlich (n-1)te Glied a_n-1 nimmst, und die Nummer des vorherigen Gliedes, nämlich n-1, verdoppelst und dazuzählst.

Leider ist schon wieder Deine Lösungsangabe unvollständig, Du hast nicht den Anfang angegeben. also:

a_n = 0 für n=1,
a_n = a_n-1 + 2*(n-1) für n>1
ist die Lösung. Die 1.ten Glieder:

n=1: a_n=a₁=0,

n=2: a_n=a₂=a_n-1 + 2*(n-1)=a_2-1+2*(2-1)=a₁+2 = 0 + 2 = 2

n=3: a_n=a₃=a_n-1 + 2*(n-1)=a_3-1+2*(3-1)=a₂+4 = 2 + 4 = 6

n=4: a_n=a₄=a_n-1 + 2*(n-1)=a_4-1+2*(4-1)=a₃+6 = 6 + 6 = 12

n=5: ...

Man möchte eigentlich die Alternativhypothese testen, ein Beispiel aus der klinischen Forschung: Man entwickelt eine neue Substanz und möchte testen, ob sie besser wirkt als die alte (oder als Placebo). Man will aber sicher gehen, dass man sich nicht fälschlicherweise für die neue Substanz entscheidet, deswegen setzt man die Statistik so auf, dass wenn in Wahrheit die neue Substanz gleich gut oder schlechter ist, ein Ergebnis unwahrscheinlich wird, das die neue Substanz favorisiert, und zwar oft mit dem 5%-Niveau (1%-Niveau, 10%-Niveau), d.h. unter der 0-Hypothese (in Wahrheit gleich gut oder schlechter) werden erwartungsgemäß von 100 Stichproben nur 5 (1, 10) die Überlegenheit zeigen. Mit diesen 5% (1%, 10%) argumentiert man, es ist so unwahrscheinlich, dass die 0-Hypothese wohl nicht stimmt. Natürlich kann man trotzdem falsch liegen, eine Statistik, die nur eine Stichprobe und nicht die volle Population (hier alle Kranken auf der Welt) umfasst, weicht immer ab von der Gesamtpopulation.

Allerdings, Du fragtest nach einem 2seitigen Hypothesentest, ich habe Dir ein 1seitiges Beispiel genannt. 2seitig wäre, wenn die 0-Hypothese die Gleichwertigkeit des neuen Medikaments behauptet, die Alternativhypothese wäre dann: besser oder schlechter - macht wenig Sinn in der klinischen Forschung, wird aber trotzdem oft so aufgesetzt. Bei dem fairen Würfel von Halbrecht ist der 2seitige Test allerdings genau der richtige. Mich interessiert nicht allein, ob die 6 zu oft vorkommt, und auch nicht allein, ob sie zu selten vorkommt, sondern nur, ob der Würfel irgendwie gezinkt ist. Wenn eine Zahl zu oft vorkommt, muss eine andere zu selten vorkommen, bzw. die Würfe aller anderen 5 Zahlen zusammengenommen zu selten.

Du hast da nur die rechte Seite der Lösung hingeschrieben. Geh mal durch:

n=1 : a₁=5

n=2 : a₂=6 = a₁ + 1 = a_2-1 + (2-1)

n=3 : a₃=8 = a₂ + 2 = a_3-1 + (3-1)

n=4 : a₄=11 = a₃ + 3 = a_4-1 + (4-1)

n=n : a_n = a_n-1 + (n-1).

Die Lösung ist also: a_n=5 für n=1, a_n =a_n-1 + n-1 für n>1

Zunächst: lass mal die -1 weg, ersetze also n-1 durch n, sieht weniger kompliziert aus. Und dann mache Dir klar, dass es hier um eine Anzahl und nicht um eine Ws geht. Eine Ws kriegst Du, wenn in den Nenner diese Anzahl aller Möglichkeiten setzt und in den Zähler die Anzahl der von Dir als "günstig" oder wie auch immer betrachteten.

Nun nimm einmal an, Du hast n Plätze, auf die Du k Elemente platzieren willst, natürlich nur 1 Element pro Platz (also k≤n) . Für das erste der k Elemente hast Du n Plätze, für das 2. bleiben n-1, für das 3. n-2 usw. und für das k-te n-(k-1)=n-k+1. Das ist also die Multiplikation der Zahlen n-k+1 bis n, oder aller Zahlen von 1 bis n (=n!), wenn Du das noch durch das Produkt aller Zahlen von 1 bis n-k teilst(=(n-k)!), also n!/(n-k)!. Wenn Du nun die k Elemente alle unterscheiden könntest und unter den belegten Plätzen alle möglichen unterschiedlichen Belegungen zählst, kommst Du analog auf k! Belegungen, da ja k verschiedene Element auf den 1. belegten Platz kommen können usw. Da Du ja aber die nicht unterscheiden willst (Reihenfolge egal), musst Du noch durch diese Anzahl teilen, also n!/(k!*(n-k)!).

Allerdings muss ich jetzt gestehen, ich habe hier das Ziehen ohne Zurücklegen beschrieben, was auch Deiner Formel entspricht. Mit Zurücklegen würde hier heißen, dass jeder belegte Platz wieder frei ist für die Aufnahme eines weiteren Elementes, auf einem Platz können also mehrere Elemente platziert werden. Vergleiche mal die 4 Ziehungsarten in Kapitel 3, Ergebnismengen, in https://de.wikipedia.org/wiki/Urnenmodell. Da ist eigentlich alles erschöpfend erklärt, nur braucht es eine gewisse Affinität zu mathematischer Formelsprache.

Keine Antwort, die haben schon andere gegeben, aber ein Vorschlag zur Frageformulierung, die glaube ich für jedermann verständlich sein könnte. Statt

"wobei alle Punkte näher an dem Zentrum des Würfels stationiert sind in vergleich zu den Ecken"

würde ich schreiben:

"wobei der Abstand jedes Punktes zum Zentrum kleiner ist als jeder der 8 Abstände zu den 8 Ecken"

Und dann würde ich für die Überlegungen zur Lösung damit beginnen, das Problem zuerst mal für ein 2-dimensionales Quadrat "aufzumalen"

Am einfachsten:

Für hundert verkaufte Lose kassiert er 100 €, zahlt 35 mal 2€ aus (-70€) und 5 mal 5 € (-25€). Bleiben ihm 5€, d.h. pro Los im Schnitt also 5 Cent

https://www.statology.org/welchs-t-test-calculator/

https://www.statskingdom.com/150MeanT2uneq.html

Einfach nach =welch t-test calculator" suchen.

Oder hast Du eine Tabelle, in der df 12 und 13 gelistet sind? dann würde ich entsprechend interpolieren

So wie Du das hingeschrieben hast, müsstest Du n! durch k1! teilen und anschließend das Ergebnis dieser Division mit k2! und den evtl. weiteren ki! multiplizieren. Das ergibt keinen Sinn. Bitte setze Klammern! Innerhalb Punktrechnungen wird immer von links nach rechts abgearbeitet.

Deine Frage möchte ich nur für den Fall i=2 beantworten. Für i=3, ... ergibt sich das dann unmittelbar.

Du hast Deine gesammelten Objekte also auf n! verschiedenen Weisen angeordnet. Nun sind k1 Objekte in einer Kategorie, in der die Reihenfolge egal ist, und diese Objekte hast Du (nachdem Du die anderen k2 Objekte in Gedanken mal rausgenommen hast) dabei auf k1! verschiedene Weisen angeordnet. Für jede Deiner n! Anordnungen gibt es also k1!, die als identisch betrachtet werden, also bleiben n!/k1! Anordnungen, die als unterschiedlich betrachtet werden. Und nun hast Du aber für jede dieser Anordnungen auch die k2 Objekte der 2. Kategorie auf k2! Weisen angeordnet, die wiederum als identisch betrachtet werden, damit bleiben n!/k1!/k2! = n!/(k1!*k2!) Anordnungen übrig.

Du kannst Dir, vielleicht einfacher, die ganze Sache auch ohne den Zähler n! überlegen: Wieviel gemeinsame Anordnungen gibt es, in einem Strang k1 Objekte der 1. Kategorie und in einem anderen Strang k2 Objekte der 2. Kategorie anzuordnen: Zu jeder der k1! Anordnungen der 1. Kategorie gibt es k2! Anordnungen der 2. Kategorie, sodass Du multiplizieren musst.

Nimm als Beispiel die Zahlen 1 bis 5 und betrachte die geraden Zahlen als eine Kategorie und die ungeraden als die 2. Kategorie.

Oder schau in https://www.mathebibel.de/permutation-mit-wiederholung#beispiele

"Die variablen sind normalverteilt" - ich sehe nur eine Variable, und die ist nicht normalverteilt, sondern lognormal (allerdings ist dann ln(y) normalverteilt).

Aber welche Teile von a) bis d) sind unklar?

Die loglikelihood Funktion bei einer Dichte f mit Parameter µ, f(y;µ), ist ja einfach

, wenn die {yi}, i=1,...,k, die Stichprobe bilden, und das solltest Du ja ausrechnen bzw. umformen können, sowie die Ableitung nach µ bilden und 0 setzen; analog für sigma². Damit hättest Du a) und b).

Für c) und d) müsste ich mehr Zeit investieren, da alles schon so lange her ist

"von den Jungs und die die Mathe mögen" - was ist das für ein komisches und falsches Deutsch. Ich bin normal kein Pfennigfuchser, aber das finde ich unverständlich. Grammatikalisch richtig wäre "von den Jungs und denen (oder denjenigen), die Mathe mögen", aber auch das wäre inhaltlich völlig unklar. Bezieht sich dann "denen" auf die vorher genannten Jungs oder sind da alle Menschen mit dabei, hier wohl zusätzlich Mädchen. Im 1. Fall wäre es der Anteil der Mathe mögenden Jungs in einer Klasse oder Schule oder was auch immer, im 2. Fall wäre es der Anteil derer, die Jungs sind oder die Mathe mögen (mit dabei die Mathe mögenden Jungs, aber auch die Jungs, die Mathe nicht mögen, sowie Mädchen, die Mathe mögen).

Siehe auch meine Antwort auf Deine gestrige Frage.

Betrachte als Beispiel die beiden Ereignisse, die jeweils ihre Wahrscheinlichkeiten P(W) und P(S) haben:

W: Ein junger Mensch zwischen 20 und 30 wohnt bei seinen Eltern

S: Ein junger Mensch zwischen 20 und 30 studiert.

Sicher gilt 0<P(W)<1, 0<P(S)<1

Nun kannst Du die gemeinsame "Und-Wahrscheinlichkeit" P(W und S) bilden. Da es sicherlich Menschen gibt, die nicht bei ihren Eltern wohnen, und auch welche, die nicht studieren, gilt sicher 0<P(W und S)<P(W) und 0<P(W und S)<P(S).

Betrachtest Du nun nur W-Menschen und willst wissen, wieviele von denen studieren, setzt Du das Ereignis W praktisch auf 100%, W ist dann die Bedingung. Hier gilt dann 0<P(S|W)=P(W und S)/P(W)<P(W)/P(W)=1 (sprich P(S|W) als P von S gegeben W), das ist die bedingte Ws.

Ich kenne übrigens den Ausdruck Und-Wahrscheinlichkeit nicht, es könnte eine eigene Bezeichnung Deines Lehrers sein. Er könnte damit aber auch etwas ganz Anderes meinen, nämlich die Addition von Ws, deren Ereignisse sich gegenseitig ausschließen, z.B. dass ein Mensch zwischen 20 und 29 ist und dass ein Mensch zwischen 30 und 39 ist, oder dass mit einem Würfel eine 2 und dass eine 3 geworfen wird

Eine Normalverteilung ist eine stetige Verteilung und kann theoretisch zwischen 2 Werten, die vorkommen, jeden anderen Wert annehmen, z.B. die Körpergröße aller Menschen (Ob die normalverteilt ist oder einer anderen stetigen Verteilung folgt, ist eine andere Frage). Eine Binomialverteilung kann nur 2 Werte annehmen, z.B. 0 oder 1, A oder B, kleiner als 1,75 und mindestens 1,75, schmeckt gut oder schmeckt nicht gut, ja oder nein, ...

Beides möglich. In der Lösung werden erst die herausgesucht, die jeweils die eine Krankheit haben aber die andere nicht, Du zählst praktisch die mit beiden Krankheiten doppelt und nimmst sie einmal wieder raus

Wie Du auf die 0,585 kommst, ist mir ein Rätsel; wie Du überhaupt aus diesen Zahlen eine Gesamt-Standardabweichung berechnen willst ebenso.

Aber zum relativen Fehler: Egal, was Du für einen einzelnen Messwert als Fehler hast oder auch die Standardabweichung als Fehler nimmst, dies ist der absolute Fehler, wird hier gemessen in g (Fehlerwert-1,82). Diesen Wert müsstest Du mit 1000 multiplizieren, wenn Du ihn in mg ausdrücken willst. Nicht so beim relativen Fehler, der ist einfach Fehler / Referenzwert, also hier Fehler / Mittelwert, und dieser Quotient verändert sich nicht, wenn Du Fehler und Referenzwert mit der gleichen Zahl multiplizierst - also Messeinheit änderst.

(3): In (1) und (2) sind die Stichproben genau gleich groß: n=10. In (1) ist allerdings (theoretisch) die Grundgesamtheit unendlich groß, und die Wahrscheinlichkeit für eine Person, in die Stichprobe zu geraten, ändert sich nicht, wenn schon eine gezogen wurde (zumal ja nicht ausgeschlossen ist, dass dieselbe Person nochmal gezogen wird). In (2) ändert sich die Wahrscheinlichkeit für jede weitere Person, da dieselbe ja nicht nochmal gezogen werden kann.

Ich kann Segler1968 nur bestätigen, möchte aber zusätzlich betonen, 3 von 15 (20%!!!) zu ignorieren, wäre schon happig.