Wie kann ich von Nullstellen auf Funktionsgleichung schließen?
Hallo, bisher hab ich immer eine funktionsgleichung gehabt und auf vers. art und weisen die nullstellen berechnet. Nun habe ich eine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. Die Koeffizienten a, b, c und d sollen bestimmt werden. Als beispiel sind die nullstellen -4; 0; 4/5 gegeben. Wie kommt man zu einer Funktionsgleichung? Durch Linearfaktoren? Danke für eure hilfe :) B.
2 Antworten
Gesucht ist eine Polynomfunktion vom Grad 3, die die Nullstellen
x1 = -4, x2 = 0 und x3 = 4/5 hat.
Da die Funktion f den Grad 3 und genau 3 einfache Nullstellen hat, kann man den Funktionsterm als Produkt aus Linearfaktoren darstellen. Die Linearfaktoren sind in diesem Fall
x - (-4) = x + 4,
x - 0 = x,
x - 4/5.
Dann gilt
f(x) = a (x+4) (x) (x - 4/5) mit einer reellen Zahl a ungleich 0.
f(x) = ax(x+4)(x-4/5).
Es gibt unendlich vieler solcher Polynomfunktionen, denn a kann frei gewählt werden.
wenn die Nullstellen N1, N2 und N3 gegeben sind, dann ist (x - N1)(x - N2)(x - N3) die dazugehörige Funktion, kann aber noch ein konstanter Faktor davor kommen.
multiplizier' obigen Klammerausdruck aus, fasse den Krempel zusammen und dann hast du einen Ausdruck der Form Ax^3 + Bx^2 + Cx +D und bist fertig - weil dann ist a =A, b=B, c=C und d=D.
ja soweit war ich auch, erstmal eine funktionsgleichung aus den linearfaktoren aufstellen und a als faktor davor.. aber wo packe ich b,c und d hin? :)