Zusammenhang zw. Grad der Funktion + Anzahl der Nullstellen?
Hallo :)
Ich frage mich was der Zusammenhang von Grad der Funktion. Also wenn sie z.b 3.Grades ist. Sieht sie ja so aus: ax^3+bx^2+cx+d Wie hängen die Nullstellen damit zusammen? Also warum hat diese Funktion 3 Nullstellen?
Danke schon mal!
6 Antworten
A. Ein Polynom dritter Ordnung hat höchstens drei Nullstellen für reelle x1, x2, x3. Genau dann hat es die faktorisierte Form:
y = a(x -x1)(x -x2)(x -x3), a ungleich Null.
denn wie du dich leicht überzeugst, wird y = 0 genau für x = x1 oder x = x2 oder x = x3. Wenn du diese Form zusammenfasst, nach Potenzen ordnest und die zusammengefassten Koeffizienten mit b, c, d benennst, kommt die von dir vorgetragenen Form wieder heraus.
B. Nun können zwei dieser Nullstellen als doppelte Nullstelle zusammenfallen. Genau dann hat das Polynom die faktorisierte Form:
y = a(x -x1)² (x -x2), wobei
x1 die doppelte, x2 die einfach Nullstelle ist. Dann hat es eben genau zwei verschiedene Nullstellen.
Auch alle reellen Nullstellen können in einer zusammenfallen, z.B. in
y = 3x³ -9x² +9x -3 = 3(x -1)³ (allgemein: y = a(x - x1)³)
C. Dann gibt es noch den Fall, dass es nur eine Nullstelle gibt und mit reellen Zahlen keine Zerlegung Faktorisierung möglich ist, z.B. für
y = 5(x +1)(x² + 2) = 5x³ +5x² + 10x +10; allgemein:
y = a(x -y1)(x² +px +q), wobei
die Diskriminante p²/4 -q < 0 ist und also x² +px +q keine reelle Nullstelle hat (siehe pq-Formel).
Das sind alle Fälle.
Wenn du eine Funktion n-ten Grades hat, so hat die in den komplexen Zahlen genau n Nullstellen, wobei einige Nullstellen auch doppelt vorkommen können. Unter diesen n Nullstellen können natürlich auch reelle Nullstellen sein - aber eben insgesamt höchstens n.
Warum ist das so? Das nennt sich Fundamentalsatz der Algebra und ist nicht ganz leicht zu beweisen. Warum es nicht mehr als n Nullstellen gibt, ist leichter einzusehen: wenn x0 eine Nullstelle ist, kannst du per Polynomdivision (x-x0) abspalten. Das entstehende Polynom hat einen um 1 geringeren Grad - das kannst du also nur n-mal machen.
Eine Anmerkung noch: Polynome mit ungeradem Grad haben immer mind. eine reelle Nullstelle - da sie für + und - unendlich in unterschiedliche Richtungen streben, müssen sie irgendwo die x-Achse schneiden.
Merk dir einfach, Grad = Anzahl Nullstellen. Einige davon sind jedoch ein bisschen komplexer als andere. Wurzel(-4) ist normalerweise die leere Menge, da man aber in Mathe für alles eine Antwort hat, ergibt Wurzel(-4) = 2i (i = imaginäre Zahl die der Wurzel(-1) entspricht).
Also Wurzel(-4) = Wurzel(4 * -1) = Wurzel(4) * Wurzel(-1) = 2i
bezogen auf x² + 4 = 0 ergibt das x = Wurzel(-4)
Da gibt es eigentlich nur einen Zusammenhang: Eine Funktion ersten Grades kann nur eine Nullstelle haben, eine zweiten Grades zwei usw. Die Betonung liegt aber auf "kann" und muss nicht. Daher weist du aber wie viele Auf- und Abschwünge diese Funktion im Koordinatensystem hat. z.B. hat eine Funktion dritten Grades mit nur zwei Nullstellen drei "Schwünge", von denen einer die x-Achse nicht berührt.
Naja, bei Funktionen mit dem Exponenten 1 gibt der Grad die Anzahl der Nullstellen an.
Eine Funktion mit Grad g hat maximal g Nullstellen. Maximal bedeutet aber nicht, dass es diese Nullstellen wirklich geben muss.
x^2 + 5 hat z.B. keine Nullstelle.
Das bedeutet also nur, dass du sicher weißt, dass eine Funktion vom Grad g nicht mehr als g Nullstellen haben kann. Bei komplexen Zahlen ist das glaube ich nochmal anders aber sowas macht man eh erst an der Uni.
Naja ich dachte ich machs nicht komplizierter als es in der Schule nötig ist. Aber ihr habt natürlich Recht ;-)
Brücke zu FataMorgana2010: Der Fundamentalsatz der Algebra lautet: Ein Polynom n-ter Ordnung hat genau n komplexe Nullstellen (die relle oder echt komplex sein können, paarweise verschieden oder nicht).
"Es gibt" die Nullstellen in jedem Fall. Sie sind aber nicht in jedem Fall reell.