Rationale und natüliche Zahlen?
Worin besteht der Unterschied, wenn man n auf Q oder Q auf n abbildet?
Zudem: wenn es ja abbilbar wäre, so würde das ja eine Nachfolgerfunktion widerspiegeln, inwiefern kann ich das aber jetzt beispielsweise beim Induktionssschritt der vollständigen Induktion verwenden?
3 Antworten
Du verwechselst das Konzept des Nachfolgers mit dem Konzept der Abzählbarkeit. Nur weil eine Menge abzählbar ist, muss sie noch nicht total geordnet sein. Letzteres braucht es aber für einen eindeutigen Nachfolger. Es gibt mehr als eine Bijektion von N auf Q, daher kannst du keinen eindeutigen Nachfolger benennen.
Die Ordnung wird sowohl bei N als auch bei Q durch "<" gegeben. Der Unterschied ist aber, dass man bei Q keinen direkten Vorgänger oder Nachfolger bzgl. dieser Ordnung findet, weil immer noch was dazwischen passt. In N hast du die 2 als (eindeutigen) Nachfolger der 1, aber in Q? Es ist 1 < 1+1/n, für jedes natürliche N, aber du kommst der 1 damit immer näher.
Okay aber bedeutet das also, dass auch ein klarer Nachfolger definierbar sein muss? Muss eine bijektive Funktion da sein (reicht nicht auch eine surjektive?)
"eindeutig", nicht "klar". Ich weiss nicht, warum du immer noch mit der bijektiven Funktion kommst. Die kannst du zum Nachweis der Abzählbarkeit brauchen, nicht für die strikte Ordnung und den Nachfolger.
Danke dir. Angenommen wir haben eine Menge X und beweisen, dass eine surjektive Abbildung auf N herrscht und wir kennen einen klar definierbaren Nachfolger, würde man nun die v.I anwenden können?
Ich habe gelesen, dass surjektiv reicht, aber würde das nicht ein Problem sein? Wenn beispielsweise 2 Werte einer Zahl zugeordnet werden?
Bei ℕ auf ℚ setzt du eine natürliche Zahl ein und erhältst eine rationale Zahl. Bei ℚ auf ℕ ist es genau andersherum.
Und worin besteht der Unterschied hinsichtlich bijektiver Abbildung?
Der Unterschied ist dass Du beim Abbilden von N nach Q eine bijektive Funktion f benutzt, und beim Abbilden von Q nach N die Umkehrfunktion von f.
Was Du mit Nachfolgerfunktion meinst, verstehe ich nicht.
Also, es gibt ja bei der vollständigen Induktion n+1 (die Nachfolgerfunktion), die durch den Induktionsschritt bewiesen wird. Dadurch, dass quasi die Nachfolgerfunktion durch Zahlen (also n+1) ausgedrückt werden kann, kann man das auch algebrarisch auf eine Gleichung anwenden.
Wenn ich nun eine bijkeitve Abbildung habe, zeige ich, dass es Nachfolger gibt, aber inwiefern kann ich diese jetzt beim Induktionsschritt anwenden?
Ich suche nach den Bedingungen, wann man eine Menge auf die vollständige Induktion übertragen kann (siehe Kommentar oben)
Hey,
Danke für deine Antwort. Das war hilfreich. Also muss ich quasi eine Menge abzählen können und ihre Ordnung beispielsweise anhand eines Termes beschreiben können?
Beispielsweise sind die natürlichen Zahlen geordnet und man kann ihre Ordnung mit der Addition von 1 beschreiben.
Die rationalen Zahlen sind geordnet, ihre Reihenfolge ist jedoch durch einen Term nicht aufzufassen?