Urbild von Abbildungen bilden?

Hallo liebe Community,

ich rechne gerade eine Aufgabe die wie folgt lautet:

$f(x,y)=xy−y^2$ $g\left(x\right)=\left(3x,7\right)$

Was ist $f^{-1}([0,1])$ $g^{-1}(5\times R)$ ?

Ansich hatte ich das Gefühl Urbilder ganz gut zu verstehen.

Wenn man f(x)=x^2+1 hat und f^-1(3) bestimmen soll, dann setze ich einfach die 3 für y in meiner Funktion ein und bestimme das entsprechende x dazu.

So bei Funktion f wollte ich nun wie folgt vorgehen:

Ich setze erst 0 für y ein und dann 1 für y. Aber jetzt war ich schon etwas verwirrt, weil es eine Funktion mit 2 Variablen ist x und y. Meine erste Idee war erst jedes y durch 0 zu ersetzen also so: 0 = x*0-0^2

Das hat aber für mich keinen Sinn mehr gegeben, weil das ist dann ja für jeden Wert von x wahr und wie soll ich das als Ergebnis aufschreiben.

Dann habe ich es noch wie folgt ausprobiert: 0 = x*y-y^2

Und kam dabei auf folgende Lösung x=y oder y=0.

Dann habe ich so weitergerechnet: 1=x*y-y^2 und kam auf folgendes Ergebnis: y+1/y

Mein Ergebnis für das Urbild f^-1([0,1]) ist dann folgendes: {y,0,y+1/y}. Ist das so korrekt?

Nun habe ich weitergerechnet mit g. Da soll ich für y das kartesische Produkt von 5 und den Reelen Zahlen einsetzen. So hier war ich eigentlich schon geliefert. Wenn man das kartesische Produkt von 5 x R bildet hat man ja Paare, aber eine unendliche Anzahl von Paaren und ich kann ja schlecht unendlich viele Paare für y einsetzen, da werde ich ja wortwörtlich nie fertig mit.

Dann habe ich mir gedacht okay, y muss das Paar (3x,7) sein. Damit also die Gleichung wahr ist muss man die Relle Zahl 7 nehmen dann hat man für y das Paar (5,7) also gilt (5,7)=(3x,7) und dann muss ich nur noch die Gleichung hier lösen: 5 = 3x also x = 5/3. Und dann ist die Lösung für das Urbild von g^-1(5xR)={5/3}???

Kann mir bitte jemand erklären ob ich das richtig gerechnet habe bzw. gedacht habe oder falls ich halt einen Fehler gemacht habe mir erklären wo mein Fehler liegt.

Das wäre wirklich sehr nett von euch :)

Answer 1

[Aurel8317648]

g dürfte stimmen, unter der Voraussetzung, dass die Zielmenge auf das Bild von g verkleinert wird

Bei f musst du überlegen, für welche x, y die Funktion f auf das Intervall [0, 1] abbildet

Comments

[EkkoMcfly]

Ich habe jetzt einmal probiert das mittels Gleichungssystem zu lösen.

$1:\ \ \ \ 0\le x⋅y−y^2$

$2:\ \ \ \ 1\ge x\cdot y-y^2$

Als Lösung bekomme ich das hier:

$y+\frac{1}{y}\le x\le y\le0,\ y+\frac{1}{y}\ge x\ge y>0,\ y=0$

Aber um ehrlich zu sein hilft mir das auch nicht wirklich weiter.

Als Menge mit Intervallen würde ich das dann wie folgt schreiben:

$\left\{[y+\frac{1}{y},0],]0,y+\frac{1}{y}],0\right\}$

Wäre das die korrekte Lösung?

[Aurel8317648]

@EkkoMcfly

Bei deiner Lösungsmenge kommt kein x mehr vor, dann wäre x beliebig, also zum Beispiel x = 10

mit z.B. y = 1 was ja in deiner Lösungsmenge enthalten ist, wäre f=9, also das kann schon mal nicht stimmen

------------------------------------

Urbild = {(x, y) | 0<= xy - y² <= 1}

Ich weiß ja nicht, was genau als Lösung verlangt ist, aber vielleicht genügt das schon

----------------------------

0<= xy - y² <= 1

0<= y(x - y) <= 1

Bei Ungleichungen sind oft Grenzgeraden oder Grenzkurven interessant, dort gilt - zumindest in einem gewissen Intervall -, dass auf einer Seite der Grenzgerade beziehungsweise Grenzkurve keine Lösungen existieren und auf der anderen Seite Lösungen existieren. Ich weiß aber nicht, ob das hier überhaupt verlangt ist

y(x - y) = 0

<=>

y=0 oder x=y

Damit haben wir 2 Grenzgeraden In der xy Ebene (z ist ja 0)

y=0 ...... die x Achse

x=y..... die 45° Gerade

-------------------------

xy - y² = 1

y² - xy + 1 = 0 ....... Die Grenzkurve ist eine Hyperbel in der Ebene z = 1 ( eine Ebene parallel zur xy Ebene In der Höhe z=1

------------------------

Hier sieht man die 2 Grenzgeraden und die Grenzkurve (Hyperbel):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3C%3D+xy+-+y%C2%B2+%3C%3D+1

Recherchiere eventuell im Internet nach "3d Plot" und lass dir den Graphen der Funktion

z = xy - y²

anzeigen, wenn man dann das z-Intervallauf [0, 1] begrenzt, werden die Lösungsflächen angezeigt

[EkkoMcfly]

@Aurel8317648

Wir haben mit Grenzgeraden und Grenzkurven noch nie gearbeitet, meines Wissens nach.

Ich werde jetzt als Lösung wahrscheinlich einfach folgendes Angeben:

f^-1={(x,y): 0 <= xy-y^2 <= 1}

Vielen Dank für deine Hilfe. Mal schauen ob dies als Lösung ausreicht.

Noch eine Frage: In Wolfram werden ja auch Lösungen angegeben. Kann man diese theoretisch einfach als Elemente einer Menge interpretieren und dann die Menge mit den Lösungen als Lösung für das Urbild von f angeben? Um das Ergebnis genauer auszudrücken?

[Aurel8317648]

@EkkoMcfly

Ich schrieb:

y² - xy + 1 = 0 ....... Die Grenzkurve ist eine Hyperbel in der Ebene z = 1 

Damit kein Missverständnis entsteht: Beim Urbild liegt diese Grenzkurve natürlich in der xy Ebene, im Schaubild der Funktion f aber erscheint sie in der Ebene z = 1

aber vermutlich wird das gar nicht verlangt

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Noch eine Frage: In Wolfram werden ja auch Lösungen angegeben. Kann man diese theoretisch einfach als Elemente einer Menge interpretieren und dann die Menge mit den Lösungen als Lösung für das Urbild von f angeben? Um das Ergebnis genauer auszudrücken?

Wir gehen mal davon aus, dass das stimmt was dort steht :)

Ja das kannst du auch machen, ist halt fraglich ob das so genau überhaupt verlangt wird. Dort werden die Flächen zwischen den Grenzgeraden bzw. Grenzkurven angegeben, z.B.: hier der untere Ast der Hyperbel im positiven x Bereich: https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5%28x-sqrt%28x%C2%B2-4%29%29

Bei den Lösungen In Form von Ungleichungen würde ich dann aber noch auf "more solutions" klicken, denn bei mir kommt dann anscheinend noch für den negativen x Bereich die Lösungsfläche zwischen Hyperbel und x-Achse dazu

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5%28x%2Bsqrt%28x%C2%B2-4%29%29+%3Cy%3C0

Falls du die Intervallnotation verwendest - ist klar. wie diese zu verstehen ist?

[EkkoMcfly]

@Aurel8317648

Okay vielen Dank! Ja die Intervallnotation verstehe ich :) ... bis jetzt

Oft ist es so, dass ich denke etwas verstanden zu haben und dann kommt ein Beispiel, eine Aufgabe oder ein bestimmter Fall und plötzlich verstehe ich es doch nicht mehr.

Aber die Intervallnotation verstehe ich eigentlich :)

[EkkoMcfly]

Okay dann habe ich ja g schonmal richtig.

f verstehe ich leider immer noch nicht so ganz.

Wenn ich herausfinden möchte für welche x,y die Funktion f auf das Intervall [0,1] abbildet wie gehe ich da vor?

Habe schon alle möglichen Wege probiert da irgendwas einzusetzen und aufzulösen, aber komme auf kein sinnvolles Ergebnis.

Wenn ich das halt wie folgt einsetze

0=x*0-0^2 dann ist das wahr für jeden Wert von x

und

1=x*1-1^2 da ist halt x = 2

aber was fange ich damit an?

achso ein weiterer nutzer hat geantwortet, dass ich größer gleich und kleiner gleich nutzen soll, also Ungleichungen?

Answer 2

[Pacman532]

Hier musst du mit größer und kleiner gleich nutzen mit größer gleich 0 und kleiner gleich 1

Comments

[EkkoMcfly]

Meinst du ich soll bei f Ungleichungen nutzen?

[EkkoMcfly]

Was genau meinst du damit? Kannst du mir vielleicht ein Beispiel geben? Bei welcher Funktion meinst du, dass ich größer gleich und kleiner gleich nutzen soll?

Answer 3

[eterneladam]

Das Urbild von f ist ein bisschen komplex, ich habe das mal rechnen lassen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0+%3C%3D++xy+-+y%C2%B2+and+xy+-+y%C2%B2+%3C%3D+1

Ist mir aber zu aufwendig, das hier auszuführen ...

Comments

[EkkoMcfly]

In Wolfram werden dann ja mehrere Abschnitte ausgegeben:

Solutions; Intervall Notation usw.

Kann ich um die Lösung des Urbilds aufzuschreiben einfach alle Lösungen nehmen die mir im Abschnitt Solutions gegeben sind und diese Lösungen in eine Menge tun und dann ist die daraus resultierende Menge meine Lösung für das Urbild von f?

[eterneladam]

@EkkoMcfly

Ja, unter „Solutions“ werden die Lösungsmengen angegeben, daraus kann man eine Vereinigungsmenge bilden.