injektiv,surjektiv. Mengen Mathe?
hallo :) bräuchte ein bisschen hilfe bei einer Aufgabe
Aufgabe:
gegeben sind die Mengen:
N = {1,2,3}
M = {1,2,3}
Zeigen sie das die Abbildung f: N -> M genau dann surjektiv ist , wenn sie injektiv ist.
Das es so ist , ist mir bewusst meine Lösung (weiß nicht ob sie ausreichend bzw formal richtig ist )
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Angenommen f ist injektiv dann gilt : Injektiv (verrausetzung)
-> Jedem Elemt aus M wird also höchstens 1 elemente aus N zugeordnet. Da aber die Kardinalität von beiden Mengen gleich ist nämlich 3 , MUSS jeden Element aus M genau einem Element aus N zugeorndet sein. Und dadurch ist ja auch die Vorrausetzung für die surjektivität gegeben :
Stimmt das überhaupt was ich schreibe ? und wie kann man das besser und mit weniger Test schreiben ?
2 Antworten
Tipp zur Beweistechnik:
Um eine Aussage zu beweisen, die "genau dann wenn" enhält, reicht es nicht, nur 1 Richtung zu beweisen!
Du hast gezeigt: f injektiv => f surjektiv
Aber die andere Richtung fehlt noch: f surjektiv => f injektiv
Meistens beweist man tatsächlich am Besten beide Richtungen einzeln also in 2 Schritten:
1.) f injektiv => f surjektiv
2.) f surjektiv => f injektiv
Und erst wenn BEIDE Richtungen bewiesen sind, erst dann ist "genau dann wenn" also " f injektiv <=> f surjektiv " bewiesen.
Und für jeden dieser beiden Beweis-Schritte empfehle ich die Widerspruchsmethode.
Also zu 1.):
f sei injektiv, und die Annahme f ist nicht surjektiv zu einem Widerspruch führen
Zu 2):
f sei surjektiv, und Annahme f ist nicht injektiv zu einem Widerspruch führen
Dein Beweis klingt natürlich logisch, ich bin mir aber nicht ganz sicher, ob's 100% formal ok ist.
Mein Ansatz wäre die Annahme, dass f injektiv, aber nicht surjektiv wäre, also dass es ein m in M geben würde, so dass für alle n in N: f(n)≠m.
Also mͼM und f(1)≠m, f(2)≠m, f(3)≠m .
Da f injektiv ist, sind f(1), f(2) und f(3) drei unterschiedliche Elemente in M
und aus f(1)≠m, f(2)≠m, f(3)≠m folgt, dass m ein viertes Element in M ist. Das ist ein Widerspruch dazu, dass M 3 Elemente enthält.
das ist richtig
ahhh stimmt , danke. durch das genau muss ich ja auch noch die gegenrichtung beweisen.
Aber habe ich f injektiv => f surjektiv richtig bewiesen?