Untervektorraum?

Beweisen bzw. widerlegen Sie, dass die folgenden Mengen Untervektorräume der angegebenen R-Vektorräume sind:

a){f∈Abb(R,R)∣∃x0∈R:f(x0)=0}

Ich bin mir bei meiner Lösung sehr unsicher:(

Meine Lösung:

Danke:)<3

Answer 1

[FataMorgana2010]

Betrachte mal die folgenden Funktionen:

f(x) = x

g(x) = 1-x

Sind diese beiden Funktionen in der Menge enthalten? Ja, denn für jede Funktion gibt es ein x_0, so dass der Funktionswert an dieser Stelle gleich 0 ist. Bei f ist dieses x_0 gerade 0, bei g ist es 1.

Wenn du jetzt (f+g)(x) =f(x) + g(x) anschaust, was siehst du dann? Ist auch das in der Menge enthalten?

Du gehst in deiner Argumentation davon aus, dass für alle Funktionen in der Menge das x_0 dasselbe sein muss. Das ist aber gar nicht gefordert, gefordert wird, dass es für jede Funktion ein solches x_0 geben muss, dass kann aber für jede Funktion ein anderes sein.