Zeigen dass Menge Untervektorraum ist?
Hallo,
Ich beschäftige mich gerade mit dem Thema Untervektorräume.
Die Definition besagt ja dass ein Untervektorraum eine nichtleere Teilmenge U von k-Vektorraum V ist und:
u1,u2 in U => u1+u2 in U
y in K, u in U => y*u in U
Die Definition ist mir eigentlich klar allerdings fällt es mir schwer damit zu arbeiten.
Wie zeige ich jetzt damit, dass eine Menge ein Untervektorraum ist?
zB: Bestimmen sie ob folgende Mengen Untervektorräume sind:
1) {x in R | x1 + x2 = 0}
2) {x in R | x1 + x2 = 1}
3) {x in R | x1 * x2 = 0}
Wie fängt man da am besten an?
Ich habe etwas festgestellt zu Aufgabe 2):
Wenn ich einen Vektor habe zB (6; -5) dann ist dieser ein Vektor welcher die Bedingung x1 + x2 = 1 erfüllt. Um ein Untervektorraum zu sein muss aber gelten y in K, u in U => y*u in U wenn ich also jetzt y = -1 wähle wird aus dem Vektor (-6, 5) welcher die Bedingung x1 + x2 = 1 nicht mehr erfüllt.
Reicht das schon um zu sagen, dass 2) kein Untervektorraum ist?
1 Antwort
Ich nehme an, eigentlich sollte in den Mengen jeweils stehen
{x in R² | ...}
denn sonst ergeben die Symbole "x1" und "x2" nicht so viel Sinn...
Zunächst zu deiner Beobachtung zu Aufgabe 2):
Ja. Wenn das ein Unterraum wäre, müsste ja für alle y ∈ K und alle u ∈ U auch yu ∈ U gelten. Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um zu zeigen, dass das kein Unterraum ist.
Wenn du zeigen willst, dass etwas ein Unterraum ist, zeigst du halt
- Die Menge ist nicht leer
- Falls u,v ∈ U so ist w := u + v ∈ U
- Falls y ∈ K und u ∈ U, so ist w := yu ∈ U.
Z.B. in Aufgabe 1) kannst du leicht zeigen, dass die Menge nicht leer ist, indem du ein Element darin findest.
Dann nimmst du dir zwei beliebige Elemente u und v aus U. Nach Voraussetzung erfüllen diese:
- u1 + u2 = 0 und
- v1 + v2 = 0.
Dann gilt aber für deren Summe w := u + v:
w1 + w2 = (u1 + v1) + (u2 + v2)
= (u1 + u2) + (v1 + v2)
= 0 + 0
= 0
Somit ist w1 + w2 = 0 und daher u+v = w ∈ U.
Die dritte Bedingung kriegst du jetzt sicher selbst hin ;)
Ich muss zugeben, dass ich die Frage nicht ganz verstehe... Das, was du als "Lösungsmenge" bezeichnest, ist ja letzten Endes nur eine Umformulierung deiner ursprünglichen Menge: Jedes x, das in der ersten Menge liegt, liegt auch in der zweiten und umgekehrt.
Da deine "Lösungsmenge" ein Unterraum ist, ist daher natürlich auch deine ursprüngliche Menge ein Unterraum (die sind ja identisch).
Wenn eine Menge durch solch homogene lineare Gleichungen gegeben ist, kannst du dir das Leben auch einfach machen und sie als Kern einer linearen Abbildung darstellen.
Etwa in diesem Beispiel kannst du eine Matrix A wie folgt definieren:
1 0 0 1
1 -1 1 0
1 2 -1 0
Die Rechenvorschrift f(x) = Ax definiert eine lineare Abbildung vom R^4 in den R^3. Wenn du die Definition vom Kern einer linearen Abbildung aufschreibst und dieses f einsetzt, kannst du sofort feststellen, dass die ursprüngliche Menge gerade der Kern dieser Abbildung ist.
Der Kern einer linearen Abbildung ist aber stets ein Unterraum.
Und letzten Endes kannst du auch mit der ursprünglichen Menge ganz stumpf die Bedingungen nachrechnen ;) Etwa:
Wenn u,v ∈ U sind und w = u + v, dann gelten
- w1 + w4 = (u1 + v1) + (u4 + v4) = (u1 + u4) + (v1 + v4) = 0 + 0 = 0
- w1 - w2 + w3 = ... = 0
- w1 + 2w2 - w3 = ... = 0
weswegen u + v ∈ U folgt, usw...
Danke!
Das waren ja jetzt eher triviale Beispiele. In einer Altklausur habe ich noch folgendes Beispiel gefunden:
{x in R^4 | x1+x4 = 0; x1-x2+x3 = 0; x1 + 2*x2 -x3 = 0 }
Zu zeigen ist wieder ob es sich hierbei um einen Untervektorraum handelt.
Meine Überlegung war jetzt, die Lösungsmenge zu suchen sodass das System erfüllt ist um dann die oben genannten Bedingungen zum Untervektorraum zu überprüfen.
Als Lösungsmenge habe ich dann gefunden:
V = {x in R^4 | x1 = -x4, x2 = 2x4, x3 = 3x4}
Dann fiel mir ein, dann wir einen Satz hatten der besagte, dass eine Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ein Untervektorraum ist. Die Lösungsmenge erfüllt logischerweise auch alle Bedigungen.
Was sagt das aber über die eigentliche Menge aus? Ist die obgrige Menge deswegen ein Untervektorraum? Meiner Überlegung nach müsste die Menge dann ein Untervektorraum sein, da ich ähnlich wie bei den trivialen Beispielen oben einfach Elemente (anhand der Lösungsmenge) aussuchen kann und damit die Bedingungen zeigen kann.
Stimmt das so?