Ungleichungen und Gleichungen auf beiden Seiten quadrieren?
Hallo, welche Bedingung gibt es damit man auf beiden Seiten quadrieren kann? Darf man das überhaupt?
5 Antworten
Bei Gleichungen erhält man durch das Quadrieren zusätzlich zur ursprünglichen Lösung noch eine weitere.
Beispiel: Die Gleichung
x=1
hat die Lösung x=1. Quadriere ich beide Seiten der Gleichung, so ergibt sich die Gleichung
x²=1
und die hat zusätzlich zu der Lösung x=1 noch die Lösung x=-1.
Bei Ungleichungen sieht es noch schlimmer aus. Die Ungleichung
x<-3
hat als Lösungsmenge ]-oo, -3[.
Quadriere ich beide Seiten, so ergibt sich
x²<9
Diese Ungleichung hat die Lösungsmenge
]-3; 3[
also eine völlig andere, die sich mit der ursprünglichen nicht mal überschneidet.
Klar, man muss bloß prüfen, welche der Lösungen der quadrierten Gleichung auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind, siehe auch die Antwort von Rubenzahl2000.
Alles tricky . Man darf es , muß aber die Lösungen tunlichst überprüfen . siehe (3) und (5) hier :
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/pdf/wurzelgleichungen1.pdf
...........................................................................
auch interessant :
Im komplexen Zahlenbereich :
(-3)^0.5 ist i*(3)^0.5
aber x < (-3)^0.5 führt hierzu
das quadrieren x² < -3 könnte zu einer Lösung führen, denn -(i*(-3)^0.5 )^2 ist ja -3
.................................
Und bei Ungleichungen heißt es , dass dort das Quadrieren nur bei positiven Termen auf beiden Seiten Seiten erlaubt ist.
was bei -x-42< -7 trotzdem zur Lösung führt : x < -35 ( weil man eigentlich x + 42 > 7 betrachtet )
-x-42< -7 quadriert führt zu einer anderen Lösung : -49 < x < -35
Wer kennt die Regeln nun ?
Wenn beide Seiten nicht negativ sind, ist das jedenfalls kein Problem.
Selbstverständlich "darf" man Gleichungen quadrieren - das kann dir niemand verbieten ;-) Du musst halt nur drauf achten, was für Auswirkungen das hat.
Beachte: Quadrieren von Gleichungen ist nicht immer eine Äquivalenzumformung, da sich durch das Quadrieren weitere Lösungen ergeben können, die NICHT Lösung der ursprünlichen Gleichung sind.
Wichtige Regel: Wenn man eine Gleichung quadriert, dann muss man bei den Lösungen, die man dann erhält, für jede einzelne Lösung noch mal prüfen, ob sie wirklich auch eine Lösung der ursprünlichen Gleichung ist.
quadrieren auf beiden Seiten darfst du immer.
schön schön , nur welche Regeln ergeben sich daraus. Grundsätzlich kann man zum Lösen von Glg doch das Quadrieren nutzen, oder ?