Ungleichung lösen, Hochzahl 3?
Bin überfragt, wie geht das? Ich dachte an x ausklammern, aber das macht kein Sinn da keine Nullstelle gesucht ist, und x größer 0 ist. Wie geh ich vor?
5 Antworten
aber das macht kein Sinn
Wieso macht das keinen Sinn?
Wenn du weißt, bei welcher Menge es = 0 ist, weißt du, welche Intervalle du hast und musst diese dann nur noch untersuchen.
x(x² - 6x + 9) = 0
x = 0
........
x² - 6x + 9 = 0
x = 3 +- 0
x = 3
Nun haben wir 3 Intervalle und müssen nur noch rausfinden, was bei <0, zwischen 0 und 3 und bei >3 passiert.
-1^3 - 6*(-1)^2 + 9*(-1)
= -1 - 6 - 9
= -16
Unter 0 wird es auf jeden Fall schon mal negativ und ist damit < 0
4^3 - 6*4² + 9*4
= 64 - 96 + 36
= 100 - 96
= 4
Oberhalb von 3 ist es also positiv.
1^3 - 6*1^2 + 9*1
= 1 - 6 + 9
= 4
Zwischen 0 und 3 ist es ebenfalls positiv.
Nun können wir bereits gedanklich abschätzen, wie der Graph aussieht. Aus der negativen Unendlichkeit kommend, verläuft er durch den Ursprung, bäumt sich kurz auf, flacht nochmal kurz zur x-Achse ab (doppelte Nullstelle) um dann in die positive Unendlichkeit zu verschwinden.
Entsprechend gilt für die Ungleichung:
x < 0
Weitere Infos siehe hier.
Zuerst die Nullstellen suchen. Dann z.B. das Vorzeichen des Terms in deren Umgebung.
Wenn man die Nullstellen 0 und 3 (doppelt) kennt, kann man die Funktion als
x * (x - 3)^2
schreiben. Einer der Faktoren muss negativ und der andere positiv sein.
Da das Quadrat nie negativ sein kann, muss x < 0 sein. Dann ist das Quadrat auch sicher > 0 und die gesamte Funktion < 0.
Da die Funktion auf der Linken Seite keine Sprünge macht, kann die Funktion nur an einer Stelle das Vorzeichen wechseln, wenn da eine Nullstelle ist.
Du kannst also zuerst die Nullstellen der Linken Seite bestimmen (x Ausklammern und dann pq Formel) und dann schaust du, wie die Vorzeichen in den Jeweiligen Bereichen sind, die durch die Nullstellen abgegrenzt werden (dafür musst du einfach nur eine Zahl aus dem Bereich einsetzen).
Ja, Dein Lösungsweg ist ja Ok. Man merkt noch früh genug, dass die Funktion auf beiden Seiten von 3 positiv ist 😉
Doch genau so. Du berechnest alle Nullstellen (mit X ausklammern) und schaust dann in welchem Intervall die Funktion welches Vorzeichen hat.
Wenn du beispielsweise -5, 0 und 5 rausbekommst hast du die 4 Intervalle
[-unendlich; -5][-5;0][0;5][5;+unendlich]
Jetzt setzt du aus jedem Intervall einen Wert in die Funktion ein und schaust welches Vorzeichen der Funktionswert hat. Wenn der Wert aus dem Intervall positiv/negativ ist so ist das ganze Intervall positiv/negativ.
Ich hoffe du hast verstanden worauf ich hinausmöchte.
LG
Ok, im ersten Schritt der NS ausrechnen, ersetze ich das < Zeichen durch ein = ?
Danke dir, direkt mal eine Frage noch dazu:
3+- √0
erhalte ich für die Nullstellen.
Bedeutet das es gibt nur diese Nullstelle (3)
Oder auch -3 ?
Ne dann sind die Nullstellen 0 (Da du ja ein X ausgeklammert hast) und die 3 :)
Danke, die letzte Frage:
Intervalle wären dann:
]-∞;0] [0;3] [3;+∞[ ?
Und wäre die Aufgabe dann mit dieser Angabe fertig und gelöst? Grüße
Nein du musst noch jeweils einen Wert aus dem Intervall einsetzen und schauen ob das Intervall dann positiv oder negativ ist.
Nur das Intervall bzw. die Intervalle die negativ sind lösen die Ungleichung vom Anfang.
Ok das hatte ich vergessen anzugeben:
- Intervall --> alle negativ
- --> alle positiv
- ---> alle positiv
Also ist nur das erste Intervall (]-∞;0]) die Lösung?
Nicht unbedingt. Diese Funktion hat bei x= 3 eine doppelte Nullstelle, da berührt sie die x-Achse nur, bleibt also nichtnegativ.