Mathe lösen mit Substitution oder Ausklammern von e^x?
Hallo, ich bin in Mathe leider eine Niete und verstehe nicht so recht wie ich die beiden Aufgaben mit Substitution oder Ausklammern lösen kann... (^ steht für hoch und das in den Klammern ist die Hochzahl) 1. 2e^(-2x)-e^(x)=0 2. -1/3e^(-x)+1/6e^(x)=0 Vielen Dank!
5 Antworten
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Hallo,
die Potenz- und Logarithmenregeln tun es auch:
2e^(-2x)-e^x=0
2e^(-2x)=e^x
ln (2)+ln (e^(-2x))=ln (e^x)
Da sich der ln und di e-Funktion gegenseitig aufheben, gilt: ln (e^x)=x, also:
ln (2) -2x=x
ln (2)=3x
x=(ln (2))/3
Aufgabe 2 geht entsprechend.
Herzliche Grüße,
Willy
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Vielen Dank! Allerdings muss ich im Unterricht die Substitution und das Ausklammern leider können...
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Substitution ist hier nicht notwendig.
2 * e^(-2 *x) - e^x= 0 dividiert durch e^x
2 * e^(-2*x) /e^x - 1=0 aus den Mathe-Formelbuch Potenzen a^r/a^s=a^(r-s)
2 * e^(- 3 *x)= 1 ergibt e^z= 1/2 mit z= - 3 *x logarithmiert
z= ln(0,5)=- 3 * x ergibt x= ln(0,5) * - 1/3 =0,231
nochmal die selbe Rechnung
- 1/3 *e^-x +1/6 *e^x=0 dividiert durch e^x
- !/3 * e^/-x) / e^x + 1/6 =0 ergibt e^z mit z= -2 *x
e^z= - 1/6 * - 3/1= 0,5 logarithmiert ergibt z=ln(0.5)= - 2*x ergibt x=ln(0,5)/(-2)
x= 0,3466
HINWEIS ; Besorge dir ein Mathe-Formelbuch privat aus einen Buchladen,z, Bsp. den "kuchling" und einen Graphikrechner (Casio).
Du brauchst dann nur noch die Formeln aus den Mathebuch exakt anwenden.
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Die erste Aufgabe wurde dir ja schon vorgerechnet.
Zur zweiten Aufgabe:
f(x)=-1/3*e^(-x)+1/6*e^x
Das sieht nun erstmal kompliziert aus. Mithilfe eines Potenzgesetzes können wir aber substituieren.
e^(-x) ist das selbe wie (e^x)^[-1], also das selbe wie 1/(e^x)
e^x ersetzen wir nun durch z.
Wir erhalten:
f(z)=-1/3*1/z+1/6*z
Zusammengefasst:
f(z)=-1/(3z)+z/6
Durch geschickte Erweiterung kann man sich die Rechnung sehr leicht machen. Wir erweitern mit 6z.
f(z)=[-1/(3z)]*6z+(z/6)*6z
f(z)=(-6z)/(3z)+(6z²)/(6)
Nun kann man super kürzen ;
f(z)=-2+z²
f(z)=z²-2
f(z) soll Null sein.
0=z²-2 | +2
2=z² | Wurzel
z=+-Wurzel aus 2
Nun folgt die Rücksubstitution:
Wurzel aus 2 = e^x | ln
ln(Wurzel aus 2) = x | Umschreiben
x1=0,5*ln(2)
-Wurzel aus 2 =e^x | ln
Im reellen Bereich nicht lösbar.
Die Nullstelle liegt also bei 0,5*ln(2)
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Gutefrage hat, zumindest bei mir, die Tendenz, einzeilige und gelegentlich auch zweizeilige Absätze zu verschlucken, sodass wieder ein Fließtext entsteht, deshalb betätige ich die Enter-Taste mehrfach. Bei zu großen Abständen behebe ich das dann ggf., jedoch ist die Bearbeitungszeit hier begrenzt, sodass ich das jetzt nicht mehr machen kann.
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Vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Wirklich nett :) Schaue mir das ganze jetzt an und verstehe es dann hoffentlich auch!
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
1. 2e^(-2x)-e^x=0 |+e^x
2e^(-2x)=e^x |*e^(2x) [Erläuterung: e^(-2x)=1/e^(2x)]
2 =e^(3x) |ln
ln(2)=3x |:3
ln(2)/3=x
x=0,23
2. (-1/3)e^(-x)+(1/6)e^x=0
-1/(3e^x)+(1/6)e^x=0 |+1/(3e^x)
(1/6)e^x=1/(3e^x) |*6 *e^x
e^(2x)=2 |ln
2x=ln(2) |:2
x=ln(2)/2=0,35
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mußt Du UNBEDINGT substituieren, dann:
2e^(-2x)-e^x=0
2/e^(2x)-e^x=0
Substitution: z=e^x [e^(2x)=e^x*e^x=(e^x)²]
2/z²-z=0 |+z
2/z²=z |*z²
2=z³ |3. Wurzel
3.Wurzel(2)=z
z=1,26
Re-Substitution:
e^x=1,26 |ln
x=ln(1,26)=0,23
andere ähnlich, sh. MeRoXas' Antwort
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Ellejolka/1444744459_nmmslarge.jpg?v=1444744459000)
1) e^x • (2e^(-3x) - 1 )=0
also 2e^(-3x) = 1
e^(-3x) = 1/2 jetzt ln
-3x = ln(1/2)
x = ln(1/2) : (-3) = 0,23
Absätze machen das Lesen angenehmer, aber müssen sie gleich SOOO groß sein :)