Unendlich mal Unendlich = Unendlich?
Unendlich mal Unendlich = Unendlich?
Ist Unendlich ein nicht steigbarer Wert oder nur eine Illusion welche die Erfinder selbst nicht erfassen können?
Ich meine wir benutzten ja keine Zahlen mit 100 Trillionen Nullen aber reden oft von unendlich, eine Zahl mit 100 Trillionen Nullen ist nichtmal ein nennenswerter großer Teil von Unendlich.
11 Antworten
Hallo,
Ich hatte mich eine Zeit lang mit diesem Thema beschäftigt und bin dann schlussendlich auf den Entschluss/die Lösung gekommen, dass manche Unendlichkeiten größer sind als andere. Das ergibt erstmal keinen Sinn, weil unendlich ja keinen Wert ist, es hat ja kein Ende. Aber sieht man mal die Zahlen 1 und 2, dazwischen liegen unendlich viele zahlen z.B 1,1; 1,11; 1,111 usw. also ist die Menge an Zahlen zwischen 1 und 2 unendlich. Das ist eine Tatsache, ein Fakt. nimmt man aber nun die Zahlen 1 und 5, ist die Menge der Zahlen dazwischen auch unendlich. Die Unendlichkeit zwischen 1 und 5 ist aber im Endeffekt größer als 1 und 2, weil sie ja immer weiter auseinander liegen werden als 1 und 2 und dementsprechend auch mehr Zahlen dazwischen liegen werden. Da gab es auch das Beispiel mit der Schnecke und dem Frosch. Die Schnecke bekommt einen kurzen Vorsprung. Die Schnecke ist auf jeden Fall langsamer, aber weil sie einen Vorsprung hat wird sie immer im Vorsprung liegen, auch wenn der Frosch schon Meilen weit entfernt ist. Ich hoffe man versteht was ich meine xD
LG
Das würde bedeuten, dass es in [1,2] mindestens "so viel Platz" gibt, wie in [1,2] und somit, dass [1,5] nicht größer sein kann als [1,2].
Hier muss es natürlich heißen:
Das würde bedeuten, dass es in [1,2] mindestens so viel Platz gibt wie in [1,5] ...
Unendlich ist unendlich mal größer als 10 ^ (10 ^ 20)
Verglichen mit endlichen Zahlen ist auch Unendlich mal Unendlich einfach nur Unendlich, es ist "so unendlich, dass es unendlicher nicht mehr geht."
Zum Paradox dass alle unendlichen Mengen gleich mächtig sind, gibt es das berühmte anschauliche "Hilbert's Hotel".
Man hat aber in der Tat transfinite Ordinalzahlen definiert, in denen Unendlich + 1, (Genannt: omega + 1) , omega * 2 und omega * omega, und alles weitere eine Bedeutung bekommen.
Einführungsvideo zu transfiniten Ordinalzahlen von Weitz, Hamburg
zwischen unendlichen Werten sind solche Operationen gar nicht definiert.
Unendlich ist nicht als Zahlenwert zu verstehen, es beschreibt eher eine Tatsache bzw. ein Verhalten.
Man kann mit "Unendlich" nicht rechnen wie mit einer Zahl. Aber wenn du x * x rechnest und x gegen Unendlich geht, dann geht auch das Produkt gegen Unendlich.
Intuitiv ist der Gedankengang klar, aber Mathematiker würden dir hier wohl widersprechen, aus folgendem Grund:
Schauen wir uns das Intervall [1,2] an (die Zahlen, die zwischen 1 und 2 liegen) sowie das Intervall [1,5].
Nun spielen wir ein Spiel: Du nennst mir eine Zahl in [1,5] und ich berechne daraus auf irgendeine Weise eine Zahl in [1,2]. Hierbei gelten folgende Regeln:
Beispiel:
Und dieses Spiel könnten wir jetzt beliebig lange weiterspielen. Die Idee ist: Wenn ich in der Lage bin, das Spiel zu gewinnen, dann hab ich es ja geschafft, alle Zahlen aus [1,5] irgendwie in die Zahlen in [1,2] einzusortieren, ohne dass eine Zahl in [1,2] doppelt belegt wird. Das würde bedeuten, dass es in [1,2] mindestens "so viel Platz" gibt, wie in [1,2] und somit, dass [1,5] nicht größer sein kann als [1,2].
Damit wir dieses Spiel nicht unendlich lange spielen müssen, verrate ich dir gleich, wie ich das Spiel gewinne: Wenn du mir eine Zahl x gibst, mach ich damit folgendes:
In Formeln: Wenn x deine Eingabe ist, ist f(x) = (x - 1) / 4 + 1 meine Ausgabe.
Es lässt sich folgendes beweisen:
Somit gewinnt die Funktion das Spiel, und [1,2] hat mindestens "so viel Platz" wie [1,5].
Aber:
Trotzdem sind sich auch Mathematiker einig, dass es unterschiedliche Unendlichkeiten gibt - nur diese beiden Zahlenbereiche demonstrieren das nicht.