Ist das die kleinste Zahl nach Null?
Eigentlich ist die kleinste Zahl nach Null ja eine unmögliche Zahl Ich hab' mal irgendwo eine Definition gelesen. Da stand Folgendes. Die kleinste Zahl nach Null sieht so aus: zuerst eine 0, dann ein Komma, dann unendlich viele Nullen und dann eine 1. Das ist, wie gesagt eine unmögliche Zahl. An und für sich logisch - aber man kann nicht damit rechnen. Jetzt bin ich aufgrund meines noch rudimentär vorhandenen gefährlichen Halbwissens auf dem Gebiet Mathematik folgende Idee gekommen. Könnte man die kleinste Zahl nach 0 nicht so definieren?
Null Komma Periode 9 ist ja das gleiche wie Null Meine Idee ist Folgende:
kleinste Zahl nach Null = Eins minus Null Komma Periode Neun?
6 Antworten
Hallo,
das ist eine sehr interessante und schöne Frage! Du hast hier ein kleines Problemchen der Standardmathematik aufgedeckt :) Es gibt in dieser Mathematik nämlich keine kleinsten Zahlen und auch keine größten :)
zuerst eine 0, dann ein Komma, dann unendlich viele Nullen und dann eine 1.
Das ist eine sehr unscharfe Formulierung, die Probleme enthält: Unendlichkeit kann in verschiedenem Maße auftreten: In aktualer und potentieller Unendlichkeit. Was du beschreibst, ist ein Grenzwert, welcher zwangsläufig zur Null führt. Zum Beispiel ist deine Formulierung äquivalent zur Formulierung
lim_(n--->oo)1/(10^n)=0
Deine letzte Formulierung zeigt gerade, dass es im Standardmodell der reellen Zahlen keine kleinste Zahl geben kann.
Ich empfehle dir, dich mal mit der sogenannten Nichtstandard Mathematik auseinander zu setzen. Dort lassen sich kleinste Zahlen definieren, allerdings muss man dazu ein wenig axiomatische Mengenlehre und Topologie betreiben. Aber das sind sehr schöne, interessante Bereiche in denen du wachsen kannst !
Viele Grüße
Sehr gute Frage: Im Prinzip wurde schon alles gesagt. Aber ich fasse nochmal zusammen.
0,..01 mit unendlich vielen Nullen statt .. funktioniert nicht, weil du eins im alltäglichen Verständnis nie käme. Folglich wäre diese Zahl 0.
Eine Möglichkeit die kleinste Zahl nach 0 zu benennen ist wie mathgeek007 schon beschrieben hat lim_(n--->oo)1/(10^n)=0 Das wäre allerdings auch nicht die kleinste Zahl > 0 sondern eine Zahl die unendlich nah an 0 ist. Aber wie nah genau lässt sich nicht sagen...
Aber wie nah genau lässt sich nicht sagen...
Naja, das, was ich da hingeschrieben habe, IST Null. Das ist ja gerade auch der Kern meiner Aussage: In den reellen Zahlen gibt es außer der Null keine kleinste Zahl. Dazu muss man eine reichhaltigere Zahlenmenge konstruieren, wie zum Beispiel die hyperreellen Zahlen, oder die surrealen Zahlen. In diesen Mengen gibt es sogenannte infinitesimale Zahlen. Diese Zahlenmengen gehorchen aber zum Beispiel nicht mehr dem Archimedischen Axiom. Dafür haben sie andere sehr geile Eigenschaften!
Die kleinste natürliche Zahl ist 0, das stellt die untere Grenze dar, darunter gibt es schon per Definition nichts mehr. Im Bereich der anderen Zahlenmengen ist es minus-unendlich. Die Zahl die du beschreibst ist erstens tatsächlich nicht möglich (es kann nicht nach unendlich vielen Stellen noch eine 1 kommen, sonst wären es ja endlich viele). Abgesehen davon wäre die Zahl trotzdem nicht kleiner, es ist höchstens eine ähnliche Beziehung wie bei 0,9 periodisch denkbar, das ja eigentlich 1 ist.
" ....... aber sie ist nicht real kleiner, als die Null."
"Eine Zahl, die größer als Null ist, wie beispielsweise 3, nennt man positiv; ist sie kleiner als Null wie beispielsweise −3, nennt man sie negativ.", Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Positive_und_negative_Zahlen
Was ich meine ist, woher weißt du, dass " ....... aber sie ist nicht real kleiner, als die Null.", also es stellt sich hier die Frage, welchen ontologischen Status man Zahlen zuordnet
https://www.google.at/search?gs_ivs=1&q=Ontologie+der+Zahl
z.B.: "Zahlen sind abstrakte mathematische Objekte beziehungsweise Objekte des Denkens", Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Zahl
Ohne auf die anderen Diskussionen einzugehen:
Null Komma Periode 9 ist ja das gleiche wie Null
Nein, das geht gegen 1 nicht gegen 0.
kleinste Zahl nach Null = Eins minus Null Komma Periode Neun
DAbei kommt eine Zahl heraus, die eindeutig größer Null ist.
Richtiger wäre da:
Minus Eins plus Null Komma Periode Neun
Oder sehe ich das falsch?
Meine letzte Mathe-Stunde ist schon -zig Jahre her.
Stimmt. :) Da hab' ich mich vertan. Ich meinte natürlich: Null Komma Periode 9 ist ja das Gleiche wie eins.
Kleinste Zahl nach Null = eins minus Null Komma Periode 9.
Das ist im Grunde genommen das Gleiche, wie:
Null Komma, dann unendlich viele Nullen und dann eine 1.
DAbei kommt eine Zahl heraus, die eindeutig größer Null ist.
Das stimmt zwar nicht, aber er sucht ja auch eine Zahl, die GRÖßER als Null ist. Eben eine, die echt größer als Null ist, aber immernoch kleiner, als jede andere Zahl.
Wieso stimmt das nicht?
Null Komma Periode Neun ist doch kleiner als 1, und die Differenz daher größer als Null.
Oder?
Aber mit dem anderen hast Du recht, da habe ich eindeutig falsch gedacht.
Wieso stimmt das nicht?
Der Bruch 1/3 ist ja das gleiche, wie 0,33 Periode. Wenn du jetzt diesen Bruch mit 3 multiplizierst, erhälst du 31/3=3 0,3...=0,9...=3/3. Aber 3/3 ist bekanntlich 1 und somit stimmt die Behauptung, dass 0,9...!=1 nicht.
Viele Grüße
Sei deine kleinste Zahl größer 0 definiert als e = 1-0.999999... (Periode 9) Mal 10: 10e = 10 - 9.999999... (immer noch Periode 9) Zweite Zeile - erste Zeile: 9e = 9 - 9 = 0. Somit ist e=0 und 1=0.999999... Man kann es auch anders verstehen: 0.111111.... ist 1/9 0.222222... ist 2/9 0.333333... ist 3/9 = 1/3 ... 0.999999... ist 9/9 = 1
Die Frage war ja auch die nach einer nächstgrößeren Zahl :)
Das ist so nicht angebbar. Negative Zahlen sind nicht kleiner, als Null, sondern negativ. Die Kleiner-Gleich-Relation gibt in diesem Sinne nicht das reale Größenverhältnis an, sondern eine Ordnungsrelation von Zahlen, die nach Werten geordnet sind. Wenn man also sagt, dass -5 < 0 < 5, dann ist -5 die betragsmäßig größte negative Zahl, aber sie ist nicht real kleiner, als die Null.