Überführe in die Scheitelform?
Hey, ich lerne gerade Mathe und bin bei einer Aufgabe am verzweifeln… Vielleicht könnte jemand von euch mir eine Aufgabe mitsamt des Rechenweges vorrechnen, sodass ich daran die folgenden Aufgaben lösen könnte?
Ich wäre euch sehr dankbar ;)
LG Luzie822🙃
Das wären die Nummer 2,3&4.
2 Antworten
Ich zeige es direkt mal für die Nr. 4, weil hier noch das Ausklammern hinzi kommt - die Vorgehensweise ist immer dieselbe:
f(x)=3x²+15x+6
Zuerst muss der Wert vor dem x² ausgeklammert werden, denn für die folgende quadr. Ergänzung muss vorne 1x² stehen. Ich berücksichtige die Zahl hinter dem x mit beim Ausklammern, man könnte auch nur bis zum x ausklammern...
also hier jetzt 3 ausklammern, ergibt: f(x)=3(x²+5x+2)
Jetzt wird quadratisch ergänzt, damit man die quadr. Klammer für die Scheitelpunktform bilden kann. Dazu wird der Wert vor dem x halbiert, dann quadriert und das dann hinter dem x addiert und subtrahiert:
5 halbieren ergibt 5/2, dann quadrieren (5/2)²=25/4, macht:
f(x)=3(x²+5x+25/4 - 25/4 + 2) [das fettgedruckte ergibt zusammen Null, ändert also den Wert des Funktionsterms nicht, aber Du kannst nun mit den ersten 3 Summanden mithilfe der binom. Formel die quadr. Klammer bilden:
f(x)=3((x+5/2)²-25/4+2)
Jetzt die Zahlen hinter der Klammer zusammenfassen und wieder ausklammern:
f(x)=3((x+5/2)²-17/4) = 3(x+5/2)²-51/4.
Aufgabe 1 legt die Basis für die folgenden Aufgaben, die solltest du als erstes machen, wenn du das nämlich kannst, dann hast du schon die halbe Miete!
Es geht ja immer darum, die binomische Formel rückwärts anzuwenden.
Man hat also z. B. in 3a die Funktionsgleichung in der allgemeinen Form
f(x) = x² + 8x + 7
Nun muss man sich überlegen, wie man daraus ein Binom machen kann. Hier stehen lauter +-Zeichen, also hat man die 1. binomische Formel am Wickel. Die lautet ja
(a + b)² = a² + 2ab + b² (die MUSS man auswendig können)
Schön, x² ist also unser a², das haben wir schon mal, da müssen wir nix mehr machen.
Der zweite Summand (also der, der irgendwie ein "einfaches" x enthält) ist in unserer Funktionsgleichung 8x.
Wir müssen jetzt das b so wählen, das 2ab = 8x ist. Wir wissen schon, dass a = x ist, was ist also b? Das ist 4, denn 2 * x * 4 = 8x.
Jetzt können wir auch b² ausrechnen, das ist dann nämlich 16. Nun wollen wir die Funktionsgleichung ja nicht verändern, darum können wir nicht einfach 16 addieren, sondern müssen das gleich danach wieder abziehen. Die +7 bleibt erstmal einfach stehen. Dann haben wir:
f(x) = x² + 8x + 7 = x² + 8x + 16 - 16 + 7
Für den fett gedruckten Teil können wir jetzt die binomische Formel rückwärts anwenden:
f(x) = x² + 8x + 16 - 16 + 7 = (x+4)² + 16 - 7 = (x+4)² + 9
Nochmal:
Wir wollen die binomische Formel anwenden. Dazu nehmen wir den Summanden mit dem x² und den Summanden mit dem einfachen x und überlegen, was wir dazu addieren müssen, damit wir die binomische Formel anwenden können. Das ist das, was in Aufgabe 1 geübt wird. Auch wenn ihr die vielleicht nicht als HA habt, ich empfehle dir dringend, das zu üben!
Wenn wir das ein so eine Form gebracht haben, dann wenden wir die binomische Formel rückwärts an, fassen alles zusammen und haben damit die Scheitelpunktform gefunden.
Steht vor dem x² noch ein Faktor, dann müssen wir den zuerst ausklammern.