4 Aufgaben lösen mit rechenweg?

Hallo, könnte jemand bitte auf dem

Arbeitsblatt Aufgabe 1d, 1g, 2c und 4c ausrechnen und den rechenweg zeigen?

Bräuchte es als Vorlage um nochmal zu sehen wie man die Aufgaben löst.

Danke im vorraus

Klasse 10

Answer 1

[randomcookie17]

d) Wir behaupten mal, dass das monoton steigend ist und überprüfen, ob das stimmt. Auf die Idee kommst du, indem einfach mal ein paar n einsetzt:

$a_n<a_{n+1},\ also\ \frac{n-1}{n+1}<\frac{n}{n+2}$ $a_n>a_n\ bzw.\ \frac{n-1}{n+1}>\frac{n}{n+2}$

Jetzt multiplizieren wir den rechten Teil einfach weg, also mal Nenner und geteilt durch Zähler, und multiplizieren aus:

$\frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n+2}{n}<1\ bzw.\ \frac{n^2+n-2}{n^2+n}<1\ bzw.\ 1-\frac{2}{n^2+n}<1$

Und das letzte ist ja offensichtlich wahr, also haben wir gezeigt, dass die Folge monoton steigend ist.

g)

Hier einfach mal das Minus rausnehmen, dann steht da:

$-\left(\frac{3n-2}{n^3+1}\right)$

Du hast also im Zähler und im Nenner zwei positive, monoton steigende Funktionen, wobei aber im Nenner die höhere Potenz ist (das n^3). Das heißt, dass das insgesamt gegen 0 geht und dann monoton fallend wäre. Jetzt haben wir aber noch das Minus davor, das heißt es geht nicht vom Positiven zur 0 und sondern kommt vom negativen. Daher ist die Folge insgesamt monoton steigend.

2 c)

Die Abweichung vom a_n zu dem Grenzwert 2 soll kleiner als 1/10 sein. Also schauen wir mal ab welchem Werte dieser Abstand genau 1/10. Der Ansatz lautet daher:

$\left|2-a_n\right|=\frac{1}{10}\ bzw.\ \left|2-\left(2+\frac{1}{n^2}\right)\right|=\frac{1}{10}$

Nach kürzen und anwenden der Betragsstriche steht dann da:

$\frac{1}{n^2}=\frac{1}{10}\ also\ n=\sqrt{10}=3,16$

Das heißt nun, dass ab n=4 (4 mit eingeschlossen) alle Folgenglieder den Abstand von 1/10 zum Grenzwert unterschreiten.

4 c)

Ähnlich wie vorhin: Im Nenner ist die höchste Potenz n^2 und im Zähler ist die höchste Potenz n, daher konvergiert die Folge gegen 0.

Answer 2

[Marcel89763]

Das ist in der Tat gar nicht so einfach. Vielleicht einfach leer lassen? Manche Dinge sollten halt nicht sein.