Tangentengleichung parallel zur Gerade?

Wie würde man diese Aufgabe lösen?

Answer 1

[Aurel8317648]

Die Steigung der Gerade ist 2, weil y=2x und in der Geradengleichung der Faktor von x den Wert der Steigung hat

Die erste Ableitung einer Funktion entspricht der Steigung.

Berechne also die erste Ableitung von f und setze diese gleich 2, dadurch erhältst du eine Gleichung. Die Lösungen dieser Gleichung sind die x-Koordinaten jener Punkte, an denen die Steigung von f den Wert 2 hat. Setze diese x-Koordinaten in f ein und du erhältst die dazugehörigen y-Koordinaten der Berührungspunkte P_i an denen die Tangenten mit der Steigung 2 den Graphen der Funktion f berühren.

Die Geradengleichungen haben die Form

y=ax+b , somit ist das auch die Form von Tangentengleichungen, wobei hier die Steigung a den Wert 2 haben muss

Den Wert von b erhältst du, indem du die Koordinaten x, y eines Berührungspunktes P in die Geradengleichung einsetzt und diese nach b auflöst

Answer 2

[Rammstein53]

$f\left(x\right)\ =\ -\frac{16}{3x^3}\ +\ x$

$f'\left(x\right)\ =\ \frac{16}{x^4}+1$

Die allgemeine Tangentengleichung von f(x) am Punkt a lautet:

t(x) = f'(a)*(x-a) + f(a)

f(x) einsetzen:

$t\left(x\right)\ =\ \left(\frac{16}{a^{4\ }}\ +1\right)\left(x-a\right)\ -\ \frac{16}{3a^3\ }+\ a$

Diese Tangente hat am Punkt a die Steigung f'(a). Diese Steigung soll 2 ergeben:

$f'\left(a\right)\ =\ \frac{16}{a^4}\ +\ 1\ =\ 2$

Das gilt für a = -2 und a = +2

Es gibt also zwei solcher Tangenten:

$t1\left(x\right)\ =\ \left(\frac{16}{2^4}\ +\ 1\right)\left(x-2\right)\ +\ \frac{16}{3\cdot2^3}\ +\ 2\ =\ 2x\ -\ \frac{8}{3}$ $t2\left(x\right)\ =\ \left(\frac{16}{-2^4}\ +1\right)\left(x+2\right)\ +\ \frac{16}{3-2^3}\ -\ 2\ =\ 2x\ +\ \frac{8}{3}$