Stochastik Wahrscheinlichkeit Statistik Poisson-Verteilung?
In einem Reaktorblock eines Kraftwerks tritt durchschnittlich 0,3-mal am Tag ein Störfall auf. Bei mehr als zwei Störfällen an einem Tag muss der betreffende Reaktorblock abgeschaltet werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr mehr als dreimal abgeschaltet wird?
Verteilung: X ~ P(0,3)
Wahrscheinlichkeit für Abschalten: P(3|0,3)=0,0033
Aber die für dreimal im Jahr habe ich leider nicht geschafft. Musterlösung: 0,0445. Wie wird es berechnet?
3 Antworten
Hallo,
Formel für die Poisson-Verteilung:
P(x=i)=(µ^i/i!)*e^(-µ).
Zunächst berechnest Du den Erwartungswert dafür, daß mehr als zwei Störfälle pro Tag auftreten. Dazu ziehst Du die Summe für 0 bis 2 Störfälle am Tag von 1 ab:
1-SUMME (i=0 bis i=2) ((0,3^î/i!)*e^(-0,3))=0,00359949318=µ (abspeichern!).
Diesen Wert für µ gibst Du nun in die neue Formel für das Jahr ein:
1-SUMME (i=0 bis i=3) ((µ^i/i!)*e^(-µ))=0,044486531, also rund 0,0445.
Herzliche Grüße,
Willy
OK, für die Jahresbetrachtung habe ich binomial genommen. Poisson geht als Näherung, lässt aber theoretisch unbegrenzt viele Ausfalltage (>365) zu. Praktisch ist es selbstverständlich nicht relevant.
Betrachtung für einen Tag, in deiner Notation:
1 - P(0|0,3) - P(1|0,3) - P(2|0,3) = 0.0036
Für die Jahresbetrachtung sollte man wohl Unabhängigkeit annehmen, dann kann man eine Binomialverteilung zugrundelegen:
1 - B(0|365;0,036) - B(1|365;0,036) - B(2|365;0,036) - B(3|365;0,036) = 0.0442
Passt leider nicht ganz :-)
Ich komme nicht auf Deine W'keit für das Abschalten an einem bestimmten Tag. Ich habe nach dieser Formel
https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution#Probability_of_events_for_a_Poisson_distribution
die W'keiten für 0, 1und 2 Störfälle ausgerechnet und dann als 1 minus diese W'keiten die W'keit für mehr als 3 Störfälle an einem Tag ausgerechnet. Ich komme dabei auf 0,003599.
Wolfram Alpha bestätigt das Ergebnis:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=P(X%3E2)++for+X~Poisson(0.3)
Meine Überlegung wäre dann eine Binomialverteilung anzunehmen (W'keit für Störfall ist das Ergebnis der vorherigen Rechnung). Allerdings komme ich dann nicht auf 0,0445 sondern auf 0,0442. Siehe hier:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=P(X%3E3)++for+X~Binomial(365,0.00359949+)
Ich will nicht ausschließen, dass ich gerade irgendwo einen Denk- oder Rechenfehler mache... Aber vielleicht hilft das trotzdem weiter.