Stochastik Überraschungseier?
Hallo hab eine Aufgabe die ich nicht verstehe: Eine Firma wirbt, dass sich in jedem 5. Ü-ei eine Figur befindet. A) Es werden 20 eier gekauft und die verteilung der figuren ist zufälli Berechne die Wahrscheinlichkeit für P (A) und P (B) A: in keinem Ei ist eine figur B: es befinden sich in höchstens 2 eiern eine figur
Bitte mit Erklärung
2 Antworten
Was genau verstehst du nicht? Wäre ja gut zu wissen wo deine Gedanken haken, anstatt hier nur die Lösung zu geben ;)
Ich zeige dir mal A. B kannst du ja dann mal versuchen.
Zu A: Die Wahrscheinlichkeit auf eine Figur bei 5 Eiern beträgt 1 zu 5 also
P(Ein Ei aus 5) = 1/5 = 0,2 = 20%
Die Wahrscheinlichkeit, das du keine Figur hast ist entsprechend
P(Kein Ei)= 1 - P (Ein Ei aus 5) = 1-0,2 = 0,8 = 80%
Für jedes Ei das du öffnest gilt also, das du mit einer WSK von 80% keine Figur bekommst.
Bei 20 Eiern macht das: P ( Keine Figur aus 20) = 0,8^20 = 0,011.. also gerade mal 1%
W'keit (p) für Figur drin pro Durchführung: 1/5 = 0.2 = 20%
Durchführungen (n): 5
A: in 0 von 5 ist eine Figur ---> also nur 5 mal keine Figur möglich (x = 0)
B: in maximal 2 von 5 ist eine Figur ---> also 1 oder 2 mal eine Figur möglich (x = 1 oder x = 2)
P(A) = W'keit 0 Figuren gezogen
P(B) = W'keit 1 Figur gezogen + W'keit 2 Figuren gezogen
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Die allgemeine Formel für diese Binomialverteilung lautet:
(n über x) * p^x * (1 - p)^(n - x)
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P(A) = W'keit für 0 Figuren gezogen (x = 0)
P(A) = (5 über 0) * 0.2^0 * (1 - 0.2)^(5 - 0) =
P(A) = 1 * 1 * 0.8^5 = 0,32768 = 32,77%
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Um P(B) zu berechnen, musst du die W'keiten für Anzahl Figuren (x = 1) und Anzahl der Figuren (x = 2) zusammenrechnen:
P(B) = W'keit höchstens 2 Figuren = W'keit 1 Figur + W'keit 2 Figuren
P(B) = [(5 über 1) * 0.2^1 * (1 - 0.2)^(5 - 1)] + [(5 über 2) * 0.2^2 * (1 - 0.2)^(5 - 2)]
P(B) = [5 * 0.2 * 0.8^4] + [10 * 0.04 * 0.8^3]
P(B) = 0,4096 + 0,2048 = 0,6144 = 61,44%
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Wenn du diese Formel anwendest, kommst du bei solchen Aufgaben immer auf die richtige Lösung. In diesem Fall ginge es aber auch einfacher, nur etwas mehr zu schreiben (ohne n über k).
Das, was ich gemacht habe, ist halt die allgemeine Form für "soviele aus sovielen je zwei möglichen müssen richtig sein" (in dem Fall z.B. 2 aus 5 müssen Figur drin haben und es gibt pro Zug immer zwei mögliche -> entweder Figur oder keine Figur drin). Damit hast du sozusagen "alles in einer Formel", nämlich sowohl W'keiten für einzelne Durchführung und direkt auch W'keit für die gefragte Anzahl an Erfolgen bei einer bestimmten Anzahl an Durchführungen.
Für die erste Aufgabe mit P(A) ist das aber unnötig kompliziert, weil es sowieso nur eine einzige Möglichkeit gibt, wie 0 von 5 keine Figur haben können (nämlich nur 1. keine, 2. keine, 3. keine, 4. keine, 5. keine). Deswegen kann man sich den Rechenschritt mit (n über k) komplett sparen, weil es eh einfach nur genau die eine Möglichkeit ist. Einfach ausgedrückt:
P(A) = (W'keit dass keine Figur) ^ (Anzahl der Durchführungen)
P(A) = 0,8 ^ 5 = 0,32768
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Bei P(B) ist das nicht so einfach. Um erstmal nur auszurechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass genau 1 mal die Figur drin ist, brauchst du nicht einfach nur (wie bei 0 Figuren) genau diese eine Wahrscheinlichkeit, sondern alle möglichen Ausgänge, wo bei 1 von 5 Durchführungen eine Figur rauskommt!
Also sowohl (1. Figur drin, 2. keine, 3. keine, 4. keine, 5. keine)
als auch (1. keine, 2. Figur drin, 3. keine, 4. keine, 5. keine)
usw...
Genau das bedeutet (n über k), wie viele Möglichkeiten man hat, k in n zu verteilen! Für x in n genau das selbe.
Sind insgesamt 5 Möglichkeiten, wie 1 von 5 Durchführungen eine Figur rauskommt. Und es sind auch nicht mehr 5 mal die Chance 80% (0,8) wie oben, sondern viermal 0,8 und einmal 0,2. Deshalb insgesamt:
5 * 0,2 * 0,8^4 = 0,4096
Für "2 von 5 sind Figuren drin" genau das gleiche machen, bei (5 über 2) kommt 10 raus, weil es 10 Möglichkeiten gibt, mit Beachtung der Reihenfolge 2 in 5 zu verteilen.
Die Aufgabe ist wirklich nicht ganz einfach, aber wenn du das einmal verstanden hast, hast du schon einen wichtigen Teil der Stochastik und auch die Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung gelernt. Sowas braucht man im Abi und spätestens im Studium andauernd.
wie gehts einfacher? könntest du das möglicherweise nur für P (A) rechnen