Stochastik mathe musterabitur?
Also in einer Stochastik Aufgabe, sollten wir den Einsatz errechnen unter dem das Spiel fair wäre. Ich hätte den Erwartungswert jetzt 0 gesetzt (das ist natürlich relativ viel Arbeit) . In der Musterlösung jedoch, hat man einfach die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Gewinnmöglickeiten errechnet (P(Gewinn=100) =0,162 und P(Gewinn=200) = 0,028 ) und diese dann mit dem Gewinn multipliziert und dann addiert.(E(Gewinn) =0,162*100€+0,027*200€= 21,80€)Das Ergebnis sollte dann der faire Einsatz gewesen sein. Kann mir jemand erklären wie man auf diese Formel kommt und warum das stimmt?
3 Antworten
P(Gewinn = 0) ist ja 1 - ( 0.162 + 0.028 ) = 0.81
Beim faire Spiel müsste E(Gewinn) = 0 sein, das ist klar
E(G) =
0 = 0.162*100 - 0.162*Einsatz + 0.028*200 - 0.028*Einsatz + 0.81*0 - 0.81*Einsatz
das ist
0 = 0.162*100 + 0.028*200 + 0.81*0
- 0.162*Einsatz - 0.028*Einsatz - 0.81*Einsatz
gleich
0 = 0.162*100 + 0.028*200 +
Einsatz*( - 0.162 - 0.028 - 0.81) = Einsatz*(-1)
Das stimmt also
War mir sooo auch neu !
0 = 21.80 - X
muss gelten
Da X aber 0.81 * Einsatz ist
kann der Einsatz nicht 21.80 sein , sondern muss
0.81 * 21.80 sein
Die vorgebene Lösung stimmt sicher, da sie aus einem Abitur stammt. Das passende Baumdiagramm habe ich in der Fragestellung noch ergänzt
Die von dir dargebotene Lösung ist falsch, da sie als Erwartungswert einfach die zu erwartenden Auszahlungen als Erwartungswert bezeichnet. Einzahlungen sind aber mit der Wahrscheinlichkeit von "kein Gewinn" zu bewerten, bevor E(X) ermittelt wird.
In meinen Augen kommt es darauf an, wie das Spielmodell formuliert ist.
Wenn man ein Los für x kauft und entweder 0, 100 oder 200 aus diesem Los gewinnt/bekommt, dann müsste das doch passen, oder? Der Einsatz ist ja mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 zu gewichten, weil man sich immer erst einkaufen muss und ihn niemals erstattet bekommt.
Die Lösung stimmt sicher, da sie aus einem Abitur stammt. Ich habe das Baumdiagramm dazu noch ergänzt und den Lösungsweg der Aufgabe auch
Der Einsatz wird aber bei jeder Teilnahme, unabhängig vom Gewinn, gezahlt.
Stell dir vor, du musst 1€ für ein Los zahlen. Du kannst bei einem Gewinn 1€ einlösen oder gehst leer aus. Es gibt eine Wahrscheinlichkeit von 75% für Nieten.
Jeder Blinde mit nem Krückstock kann erkennen, dass dieses Spiel im besten Fall neutral ausgeht und man eine Wahrscheinlichkeit von 25% hat, genau seinen Einsatz zurückzuerhalten. Auf 100 Spiele wird man sicher 100€ zahlen, statistisch gesehen aber nur 25€ wiederbekommen. Das macht einen Verlust von 75€, pro Spiel also minus 0.75€.
Dieser Erwartungswert berechnet sich aus dem erwarteten Gewinn abzüglich des Einsatzes. Also:
1€ • 0.25 - 1€ = -0.75€
Die Gleiche ergibt übrigens auch die Betrachtung beider Möglicher Fälle:
- Ich zahle den Einsatz und verliere, Bilanz ist -1€ mit einer Wahrscheinlichkeit von 75%
- Ich zahle den Einsatz und gewinne, bekomme also genau meinen Einsatz zurück und habe eine Bilanz von 0€. Die Wahrscheinlichkeit ist 25%.
Summiert man hier die Bilanz der Fälle mit ihrer Wahrscheinlichkeit, so kommt man wieder auf -0.75€
Du machst meiner Meinung nach einfach den Fehler zu erwarten, man würde bei einem gewinnenden Los die Kosten des Loses wieder erstattet bekommen...
@J0T4T4
Ja, hallo, ich muss mich korrigieren. Der Einsatz muss 21,80 € betragen, damit das Spiel fair ist. Wollte man das mit dem Einsatz berücksichtigen, so müsste bei den Gewinnen zunächst mal der Einsatz abgezogen werden, um dann mit -e * 0,81 berücksichtigt zu werden. Das kommt dann aber auf das gleiche Ergebnis.
ich hätte auch dern Erwartungswert auf 0 gesetzt.
E=Einsatz
dann
0,162•100 + 0,027•200 - E = 0
dann
E = 21,80
@Ellejolka
Leider falsch, denn auch der Einsatz muss mit dem Verlustfaktor von 81 % = 0,81 multipliziert werden.
@JOT4T$
Leider falsch. Der Einsatz ist zu keinem Zeitpunkt mit 100 % zu bewerten, es sei denn, das Gewinnspiel hat zu 100 % Gewinne. In deinem Fall ist aber die Summe der Wahrscheinlichkeiten für Gewinn nicht gleich 1, sodass 1 - P(Gewinne) für den Einsatz übrig bleibt. So wie dies Halbrecht in seinem Thread dargelegt hat.