Stirling-Approximation?
Guten Abend,
ich bräuchte kurz Hilfe bei der folgenden Aufgabe.
"Von 4 Objekten wird jedes rein zufällig auf einen von 16 möglichen Pl ̈atzen gesetzt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses “es kommt zu keiner Kollision" über ber die Stirling-Näherung."
In unserem Skript ist folgende Formel aufgeführt
Ich weiß, dass n = 4 sein wird und g = 16 und das man über die exakte Näherung mittels 16!/(16^4 (16-4)!) auf das Ergebnis 2/3 kommt. Hier ist nun die Stirling-Approximation gefragt. Was ist dieses η und das t in η (t)? In der Vorlesung wurde das leider nur sehr allgemein erklärt, ohne konkretes Beispiel. Kann jemand weiterhelfen?
Danke und liebe Grüße
2 Antworten
η ist hier eine Funktion mit der Funktionsgleichung η(t) = t + (1 - t) ln(1 - t), was auch im unteren Teil des Bildes steht. t ist dabei einfach die Variable für die Funktionsgleichung.
Im konkreten Fall brauchst du in der Formel η(n/g). Für n = 4 und g = 16 also:
η(n/g) = η(4/16) = 4/16 + (1 - 4/16) ln(1 - 4/16) ≈ 0,03423844566
Mit "exp" ist in der Regel die (natürliche) Exponentialfunktion gemeint, also quasi die Exponentialfunktion zur Basis e (= eulersche Zahl).
https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Definition
Äußerst selten in wenigen speziellen Fällen kann damit auch die Exponentialfunktion zur Basis 10 oder die Exponentialfunktion zur Basis 2 gemeint sein. (Mich würde mal interessieren, in welchen Quellen du darauf gestoßen bist „es wäre die Zehnerpotenz der Zahl“.)
Im vorliegenden Fall ist dann
exp (-16 * 0,03423844566) ≈ 0,5782117485
≠ 10^(-16 * 0,03423844566) ≈ 0,2832597513
Für die Aufgabe erhält man im konkreten Fall:
η(n/g) = η(4/16) = 4/16 + (1 - 4/16) ln(1 - 4/16) ≈ 0,03423844566
P(X ∈ A) ≈ 1/√(1-n/g) ⋅ exp(-g ⋅ η(n/g))
≈ 1/√(1-4/16) ⋅ exp(-16 ⋅ 0,03423844566)
≈ 1/√(1-4/16) ⋅ 0,5782117485
≈ 0,6676614172
Und 0,66766... passt doch recht gut zum Wert 2/3 = 0,66666...
Der exakte Wert der Stirling-Approximation für n = 4 und g = 16 ist übrigens (etwas vereinfacht) ...
(4/3)^(25/2) ⋅ exp(-n)
..., was auf 10 Nachkommastellen gerundet den Wert 0,6676614172 liefert.
Siehe auch: https://i.imgur.com/Mj9Y1Fv.png
Ok, vielen Dank mihisu. Jetzt hab ich's gerafft.
Ich habe im Internet recherchiert und hier stand, man soll bei EXP die 10 nehme soll. Also 10 EXP 14 wäre 10 EXP 10^14. Stand zumindest hier https://matheraum.de/forum/Taschenrechner_EXP_und_xy/t246914
Aber kann sein, dass ich da was falsch verstanden habe. So, wie du's erklärt hast, macht's auf jeden Fall mehr sein.
Danke und einen wunderschönen sonnigen Samstag-nachmittag noch :)
Ach ja. Das sieht man tatsächlich ab und zu bei wissenschaftlichen Taschenrechnern. Das liegt wohl daran, dass man da gerne die wissenschaftliche Notation nutzt, aber auf den Tasten und im Display des Taschenrechners nur begrenzt Platz zur Verfügung steht. Daher stößt man da öfter darauf, dass da beispielsweise dann
1,23 ⋅ 10⁴
als
1,23 EXP 4
oder meist noch kürzer als
1,23 E 4
dargestellt wird.
Siehe beispielsweise auch: https://support.casio.com/de/support/answer.php?cid=004002002001&qid=63492&num=13
Aber kaum ein Mathematiker wird selbst 1,23 EXP 4 schreiben, sondern eher 1,23 ⋅ 10⁴, wenn er den Wert aufschreibt. Mit exp(...) ist in der Mathematik meist die natürliche Exponentialfunktion gemeint, nicht die Exponentialfunktion zur Basis 10.
Hallo Jensek81,
das η(t) ist eigentlich nur eine Abkürzung, um nicht
schreiben zu müssen. Das t ist nicht etwa eine Zeit (die ja auch oft 't' genannt wird), sondern einfach eine Variable zwischen0 und 1, für die in diesem Fall t:=n/g einzusetzen ist.
Ich kenne die STIRLING-Formel auch gröber, in logarithmischer Form als
(2) ln(N!) ≈ N·ln(N) – N,
was allerdings nur für extrem große N halbwegs stimmen mag, und auf solchen Fakultäten beruhen ja die Binomialkoeffizienten und damit auch viele Wahrscheinlichkeiten.
Hier sind die Zahlen natürlich so klein, dass sich so etwas ,,zu Fuß" ausrechnen lässt.
Die Gesamtzahl der Möglichkeiten lässt sich mit einer mehrstelligen Zahl vergleichen. Die Frage ist nur: Was sind die Ziffern und was die Stellen?
Jede Stelle kann nur eine Ziffer enthalten, wie ein Objekt nur an einem Platz sein kann. Ein Platz kann - in diesem Modell - jedoch mehrfach besetzt sein, wie eine Ziffer mehrfach vorkommen kann, aber gar nicht vorkommen muss.
Es sind insgesamt also genauso viele Möglichkeiten wie bei einer 4-stelligen Hexadezimalzahl, nämlich 16⁴=2⁴·⁴=65536 Möglichkeiten.
Wenn Kollisionen vermieden werden sollen, gibt es für das zweite nur noch 15, für die dritte nur noch 14 und für die letzte nur noch 13 Möglichkeiten.
Bei 4 Objekten und 16 Plätzen lässt sich das noch ,,zu Fuß" ausrechnen:
16·15·14·13 = 43680,
was etwa ⅔ von 16⁴ ist.
Vielen Dank, mihisu. Dann rechne ich also 1/ (Wurzel (1 - n/g)) exp ( - g η(n/g)) bzw. eingesetzt
1/ (Wurzel 1/4) exp ( - 16 * 0,03423844566).
Mich verwirrt dieses "exp". Im Internet steht manchmal, es wäre einfach die e-Funktion. In anderen Quellen heißt es, es wäre die Zehnerpotenz der Zahl.