Stimmt die Aussage?
wenn die durchschnittliche änderungsrate einer Funktion f im Intervall {a;b} einen positiven wert hat, dann ist der graph von f im ganzen intervall steigend?
Warum richtig oder falsch?
4 Antworten
Die Änderungsrate ist ja die 1. Ableitung f'(x).
Wenn f'(x) positiv ist, dann steigt die Funktion f(x). Und wenn f'(x) negativ ist, dann fällt die f(x).
Beispiel: f(x) = -0,4*x² + 4*x
f'(x) = -0,8*x + 4
PS: Deswegen prüft man ja gerade mithilfe der1. Ableitung, wo der Extrempunkt von f(x) ist. Man setzt f'(x) = 0 und hat den x-Wert. Weil dort, wo der Extrempunkt von f(x) ist, ist f'(x) null.
Die richtige Antwort ist "Nein". Es reicht dazu ein Gegenspiel für die Behauptung zu finden. Ich nehme als Gegenbeispiel die allseits bekannte Normalparabel. Das ist das einfachste Gegenbeispiel.
Intervall: Die durchschnittliche Änderungsrate auf dem Intervall berechnet sich als Durchschnitts-Steigung m:
wobei x1 und x2 die Intervallgrenzen sind.
Die durchschnittliche Steigung ist im Intervall also positiv, wie in der Voraussetzung verlangt.
Trotzdem ist der Graph der Normalparabel im Bereich [-1;0[ fallend:
In der Farbe Rot sieht man hier schön die Gerade mit der Durchschnittssteigung m=1.
Wenn man den Graph nicht zur Hilfe nehmen möchte, um zu zeigen, dass der Graph zum Beispiel bei x=-0,5 fällt, dann berechnet man die Ableitung an dieser Stelle:
Da die Ableitung bei x=-0,5 negativ ist, fällt der Graph an dieser Stelle.
Zusammengefasst:
Die Normalparabel hat im Intervall [-1;2] eine positive durchschnittliche Änderungsrate (=Durchschnittssteigung). Trotzdem steigt die Normalparabel bei x=-0,5 (das liegt innerhalb des Intervalls) nicht.
Weil die Aussage ein Gegenbeispiel hat, ist die Aussage aus der Fragestellung als Ganzes falsch, denn wenn eine Aussage wahr ist, dann muss sie für alle Fälle wahr sein.
Nein, die Funktion kann zwischendurch auch fallen.
Es geht nur um den Endwert und den Anfangswert.
Hier z.B. ist die durchschnittle Änderungsrate im Intervall [-1, 0] gleich Null.
Die Antwort "Nein" ist zwar richtig, aber das angeführte Gegenbeispiel nicht passend, weil es die Voraussetzung der Aussage nicht erfüllt. Dort steht "wenn die durchschnittliche änderungsrate einer Funktion f im Intervall {a;b} einen positiven wert hat" dazu gehört nicht der Wert Null. Ich gebe unten ein echtes Gegenbeispiel.
Richtig, denn wenn die Steigung positiv ist, steigt der Graph. Wenn sie im ganzen Intervall positiv ist, steigt er im ganzen Intervall.
Weder steigen noch fallen würde er, wenn die Steigung gleich 0 wäre.
Fallen würde er bei einem negativen Wert der Steigung.
Upps, habe ich wohl überlesen. Fehler sind menschlich.
Aber ich darf mir eigentlich keine erlauben, ich bin eine Alienbraut.
durchschnittliche Änderungsrate war gefragt, nicht die lokale