Monotonieverhalten?
Hallo, während meiner Klausurvorberitung hat sich eine kleine, aber wichtige Frage aufgetan:
In einer Monotonietabelle unterteilt man den Graphen ja in verschiedene Intervalle.
Zb :
-unendlich <x<2 2<x<5 5<x<+unendlich
Dann schaut man ja mittels 1. Ableitung, ob der Graph in dem jeweiligen Intervall streng monoton steigend bzw. fallend ist.
Meine Frage ist, ob auch senkrenchte Asymptoten in der Monotonietabelle berücksichtigt werden müssen.
Das Monotonieverhalten kann sich dort doch auch ändern, oder? Zum Beispiel von steigend (vor der Asymptote) zu fallend (nach der Asymptote).
Ab und zu kann ja mal die Nullstelle der 1. Ableitung eine Definitionslücke sein.
Funktion und Graph
Senkrechte Asymptote bei x=1
Meine Aussage:
Um herauszufinden, ob ich bei x=3 ein Minimum oder Maximum habe, muss ich ja herausfinden, ob die Funktion davor/danach steigt/fällt.
Wenn ich nun einen x Wert >3 einsetze, bekomme ich einen positiven Wert bei der 1.Ableitung heraus, der Graph steigt.
Wenn ich nun einen x Wert <3 einsetze, dann ist es doch ganz entscheidend, ob ich für x 0,5 oder 2 zum Beispiel nehme. Einmal ist die Ableitung größer und einmal kleiner Null.
Dadurch eentsteht ja ein Fehler. Denn natürlich ist der y- Wert für 1<x<3 entscheidend - und zwar ob er positiv oder negativ ist.
Folglich muss/sollte ich doch eine Definitionslücke in der Monotonietabelle berücksichtigen.
2 Antworten
Eine Möglichkeit ist, mit f'(x)=0 die Nullstellen zu bestimmen. Die Intervalle, die dann auf Monotonie zu prüfen sind gehen dann von Nullstelle zu Nullstelle. Sind Definitionslücken vorhanden, dann sind diese ebenfalls Intervallgrenzen.
Wenn Definitionslücken vorliegen, also Unstetigkeit, dann existiert dort insbesondere keine Differenzierbarkeit. Brim Untersuchen der Motonie werden diese Stellen also ausgelassen.